Definierte Funktionen
Definierte Funktionen
Sie finden hier allgemeine Definitionen, Begriffserklärungen, Eigenarten der Funktionen, Beschreibungen der verwendeten Funktionen, Verständnisbeispiele usw. Werden Terme mit einem Argument außerhalb ihres Definitionsbereiches aufgerufen, so zeigt der Rechner folgendes Verhalten: - Taschenrechner: Ein nicht zulässiges Argument führt zu einen Berechnungsabbruch. Eine Fehlermeldung - wie z. B. „~ ist kein gültiger Gleitkommawert“ - wird ausgegeben. Zur Fortsetzung der Rechnung muss der Zwischenspeicher geleert werden, z. B. Doppelklick in das Eingabefeld. Eine abgebrochene Rechnung kann durch copy (im Protokoll) and paste (Eingabefeld) einfach korrigiert fortgeführt werden. - Funktionenbereich: Damit ein versuchter Zugriff auf eine einzelne Funktion außerhalb ihres Definitionsbereiches nicht zum Abbruch der aktuellen Gesamtoperation führen kann, wird ein Einzelabbruch unterdrückt. So ist es z. B. möglich, dass die Logarithmusfunktion x→ln(x) in einem Koordinatensystem, welches auch einen negativen Abszissenabschnitt enthält, in ihrem Definitionsbereich geplottet werden kann. Funktionen - Eigenarten Es werden hier anwendungsbezogen zwischen zwei Arten von Funktionen unterschieden: 1. Funktionen mit einem Argument wie sin(x), ln(x) usw. 2. Funktionen mit mehreren Argumenten wie log(x|b), B(n|p|k) usw. Jede Funktion mit einem Argument kann als Argument auch Terme (inkl. Funktionen, siehe oben) beinhalten! usw. Beispiel: Kreisfunktionen (mit a=1): x → sqrt( 1 – x^2 ) bzw. x → (1–x^2 )^0,5 bzw. x → (1-x^2)^(1/2) usw. Achtung: Für Funktionen mit mehreren Argumenten sind Funktionen bzw. zusammengesetzte Terme als Argumente nur im Programmbereich „f:x->f(x)“ möglich. Einige Funktionen sind nur im Rahmen einer Programmierung sinnvoll. Hieraus ergibt sich die folgende Deklaration: Allgemeine Funktionen Trigonometrische Funktionen Umkehrfunktionen Arkus... (z. B. Arkussinus) Hyperbelfunktionen ... hyperbolicus (z. B. Sinus hyperbolicus) Umkehrfunktionen Area...(z. B. Areasinus hyperbolicus) Anmerkung: Hyperbelfunktionen lassen sich (wie trigonometrische Funktionen am Einheitskreis) an der Einheitshyperbel geometrisch herleiten. Potenzfunktion Hinweis: Die allgemeine Potenzfunktion f: x→f(x) = b^x kann mit gültiger Basis b in ihrem Definitionsbereich immer verwendet werden. Logarithmische Funktionen
Abschnitt: Definierte Funktionen
Abschnitt: Definierte Funktionen
Abschnitt: Definitionsbereich
Abschnitt: Definitionsbereich
Abschnitt: Terme und Funktionen
Abschnitt: Terme und Funktionen
f: x → f( g( h(x) ) )
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
Abs( Term ):
liefert den positiven Wert des Terms.
sgn( Term ):
ist 1, wenn der Term positiv (Term > 0) ist, ist 0, wenn der Term = 0 (Term = 0) ist und ist -1, wenn der Term negativ (Term < 0) ist.
Mod(a|b):
ist -1, wenn der Term negativ (Term < 0) ist. (a, b ∈ ℕ)
Sqr( Term ):
liefert den Quadratwert des Terms (square; x 2 ).
sqrt( Term ):
liefert den Wurzelwert des Terms (Term ∈ ℝ; Term ≥ 0) (square root, x 0,5)
n!( Term ):
berechnet die Fakultät (Term ∈ ℕ).
Bin(n|k):
berechnet den Binomialkoeffizient n über k. (n, k ∈ ℕ).
arcsin(x)
arccos(x)
arctan(x)
arccot(x)
sinh(x)
cosh(x)
tanh(x)
coth(x)
B(n|p|k):
Binomialverteilung mit p ∈ ℝ, n, k ∈ ℕ n: Anzahl der Versuche; p: normale Wahrscheinlichkeit k: Anzahl der erwarteten positiven Ereignisse
SB(n|p|[a;b]):
Binomial – Verteilungsfunktion mit p ∈ ℝ, n, a, b ∈ ℕ n: Anzahl der Versuche; p: normale Wahrscheinlichkeit a: kleinste Anzahl der erwarteten positiven Ereignisse b: größte Anzahl der erwarteten positiven Ereignisse ( Abschnitt f:x→f(x): Im Gegensatz zur Lösungsvariablen x sind Parameter usw. im Intervall [a;b] nicht zugelassen)
%:
Prozentrechnung (nicht programmierbar) Funktion: Wert +(-*/^) x Prozent vom Wert = Ergebnis Beispiele: 123 + 10 = 135,3 123 / 2 = 50
--
cut( Term ):
schneidet die Nachkommastellen des Terms ab. Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.
--
round( Term ):
Rundet eine Kommazahl auf eine ganze Zahl.
exp(x)
(natürliche Exponentialfunktion, e-Funktion)
log(x|b)
Logarithmus von x zur Basis b mit x,b∈ℝ; x,b>0; b≠1
ln(x)
Logarithmus zur Basis e, Logarithmus naturalis, mit x∈ℝ; x>0
ld(x)
Logarithmus zur Basis 2, Logarithmus dualis mit x∈ℝ; x>0
lg(x)
Logarithmus zur Basis 10, dekadischer Logarithmus mit x∈ℝ; x>0
Definition: Terme 1. Jede Zahl ist ein Term! 2. Jede Variable oder Konstante ist ein Term! 3. Jede Funktion ist in ihrem Definitionsbereich ein Term! 4. Wenn T1 und T2 Terme sind, dann sind: 1. T1 + T2, 2. T1 - T2, 3. T1 * T2, 4. T1 : T2 (T2 ungleich 0) 5. T1 hoch T2, auch Terme!
Hinweis Definitionsbereiche: Falls ein Term (Funktion) als Argument Zahlen aus dem Bereich der ganzen Zahlen erwartet, sind u. a. beispielsmäßig folgende Konstrukte möglich: 1. Definitionsbereich anpassen: x ∈ [a;b] mit a ∈ ℤ und Delta X ∈ ℕ vorgeben, 2. Argument konvertieren mit der Funktion cut(x), 3. Argument konvertieren mit der Funktion round(x) usw. Beispiel: Bin( 10| Round(x) ), B(cut(x)| 0,2| 20 ), usw.
Hinweis Winkelwerte: Bei Funktionen, deren Argument bzw. die sich selbst als Winkel darstellen, ist der Wert abhängig von der Winkeleinstellung in der Taschenrechnermaske. Demnach hat der Vollwinkel - im (klassischen) Gradmaß 360°, - im Bogenmaß 2Pi rad und - im geodätischen Winkelmaß (Neugrad) 400 gon! Die Voreinstellung ist das Bogenmaß.
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arsinh(x)
arcosh(x)
artanh(x)
arcoth(x)
2. Funktionen, die nur für den (programmierbaren) Bereich „f:x->f(x)“ gelten:
2. Funktionen, die nur für den (programmierbaren) Bereich „f:x->f(x)“ gelten:
3. Funktionen, die sowohl für die Taschenrechnereingabe (mit obiger Einschränkung), als auch für den (programmierbaren) Bereich „f:x→f(x)“ definiert sind:
3. Funktionen, die sowohl für die Taschenrechnereingabe (mit obiger Einschränkung), als auch für den (programmierbaren) Bereich „f:x→f(x)“ definiert sind:
1. Funktionen, die nur bzw. hauptsächlich für den Bereich „Taschenrechner“ gelten:
1. Funktionen, die nur bzw. hauptsächlich für den Bereich „Taschenrechner“ gelten: