Kartesische (arithmetische) Form - Polarform (Exponentialform)
Kartesische (arithmetische) Form - Polarform (Exponentialform)
Die hier gezeigten exemplarischen Beispiele demonstrieren nicht nur den universellen Rechner-einsatz, sondern zeigen auch modifizierbare Lösungsstrategien im Umgang mit komplexen Schaltungen.Eingabehinweis: Ein Doppelklick im Eingabefenster löscht die akt. Eingabe. Die in den Beispielen entwickelten Formeln und Funktionen können direkt in die Eingabebereiche des „Kleinen Rechners“ kopiert werden (copy and paste). Bei Funktionsgleichungen wird der linke Teil incl. Gleichheitszeichen ignoriert.Winkelein- und Ausgaben können auf drei Arten erfolgen (Bogenmaß, Altgrad, Neugrad; siehe Hauptmaske „Taschenrechner“). Da in der Elektrotechnik in Verbindung mit Phasengängen usw. oft im „Altgrad-modus“ gerechnet wird, wählen Sie bitte in der Hauptmaske die Option Winkeleinstellung „Grad“!Um eine erstellte komplexe Formeln bezüglich der elektrischen Werte schnell variieren zu können, werden gerne Parameter (Platzhalter) innerhalb der Formeln verwendet.In Schaltungen werden z. B. oft mehrere Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten verwendet. Hier könnte es vorteilhaft sein, allgemein über eine (eigene) Verwendungsordnung nachzudenken.In den Beispielen werden meistens für ohmsche Widerstände R die Parameter „R“ und „W“ und bei Bedarf auch „U“ und „V“ , für elektrische Induktivitäten L die Parameter „L“ und „B“ und für elektrische Kapazitäten C die Parameter „C“ und „A“ verwendet.Beispiel: Verlustbehafteter Parallelschwingkreis:|Z Parallel (x)| = { [( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] + [( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] }^0,5Zugehörige Beispielparameterliste: Empfehlung: Löschen Sie vor der Eingabe die Parameterliste (Doppelklick auf Mülltonne). Falls Sie dann einen Parameter vergessen (oder fehlerhaft eingegeben) haben, erscheint nach einer Plotausgabe in der Parameterliste ein Fehlerhinweis (????)!Hier wurde kein Parameter eingetragen! Angezeigt werden alle verwendeten Parameter.Falls mehrere Kurven mit großen unterschiedlichen Wertebereichen übersichtlich in einem Koordinatensystem dargestellt werden sollen, ist es oft notwendig, Kurven dementsprechend zu skalieren.Dieses gilt hier oft für den Phasengang φ(f) mit φ(f)∈[ -180°; 180° ], der dem AusgabewertebereichY ∈ [ -0,2; 1,2] angepasst werden soll. Hier ist eine Stauchung mit dem Faktor 0,001 notwendig. f: x→f = c * ( φ(x) ); mit c=0,001 gilt: f: x→f = 0,001 * ( φ(x) ) Fehlerquelle: gesamten Term klammern!Die verwendeten Frequenzbereiche liegen i. Allg. zwischen 0 Hz und 10 kHz. Sie werden jeweils im Definitionsbereich eingestellt. (Entnehmen Sie hier die aktuellen Werte aus den Plotdarstellungen.)Der Wertebereich kann jederzeit im Ausgabefenster in Echtzeit angepasst werden.(Entnehmen Sie hier die aktuellen Werte aus den Plotdarstellungen.)
Parameterverwendungen:
Parameterverwendungen:
Funktionsgraphen skalieren (y-Achse):
Funktionsgraphen skalieren (y-Achse):
Abzisse (x-Achse):
Abzisse (x-Achse):
Hinweise für die hier vorgestellten Beispiele
Hinweise für die hier vorgestellten Beispiele
Winkelmodus:
Winkelmodus:
Ordinate (y-Achse):
Ordinate (y-Achse):
Passive Filter bestehen aus der Kombination von passiven Bauteilen wie z. B. Kondensatoren, Spulen und Widerstände. Grob formuliert gilt:Tiefpassfilter lassen Wechselspannungen bis zu ihrer Grenzfrequenz passieren,Hochpassfilter lassen Wechselspannungen ab ihrer Grenzfrequenz passieren.Es werden hier die Eigenschaften von unbelasteten Filtern untersucht. Innenwiderstände von Signalquellen sowie die Abschluss- bzw. Eingangswiderstände etwaiger Folgestufen werden hier nicht berücksichtigt.Exemplarisch wird hier der Spannungsverlauf der Ausgangsspannung Ua am Kondensator im Verhältnis zur Eingangsspannung Ue in Abhängigkeit der Frequenz ermittelt. Auch im komplexen Bereich gilt das 2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel) ∑ U = 0In einer Reihenschaltung ist der fließende Strom in allen Widerständen gleich.Formel in Real- und Imaginärteil splitten: Variable x = f (ω = 2ℼf), Parameter L = L [H]; C = C [F]; R = R [Ω] Nenner: { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*R ]^2 } f1:|Z(x)| = {[({ [ 1-(2*Pi*x)^2*C*L ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*R ]^2 } })^2] +[( { [ -2*Pi*x*C*R ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*R ]^2 } } )^2]}^0,5φ(x) = arctan[ ({ [ -2*Pi*x*C*R ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*R ]^2 } }) / ( { [ 1-(2*Pi*x)^2*C*L ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*R ]^2 } }) ]Zur Darstellung des Phasengangs wird die Funktion φ gestaucht: φ*: x → φ*(x) = 0,001 * { φ(x) }.f2:φ*(x) = 0,001 * { arctan[ ({ [ -2*Pi*x*C*R ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*R ]^2 } }) / ( { [ 1-(2*Pi*x)^2*C*L ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*R ]^2 } }) ] }Um die Abhängigkeit der Übertragungsfunktion von dem Widerstandswert R übersichtlich darstellen zu können, sollen drei im Widerstandswert veränderbare unabhängige Kurven (rot, grün, magenta) dargestellt werden können. Hierfür werden zwei Kopien der Übertragungsfunktion erstellt und der Widerstand R durch die Parameter V und W ersetzt.f3:|Z(x)| = {[({ [ 1-(2*Pi*x)^2*C*L ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*V ]^2 } })^2] + [( { [ -2*Pi*x*C*V ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*V ]^2 } } )^2]}^0,5f4:|Z(x)| = {[({ [ 1-(2*Pi*x)^2*C*L ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*W ]^2 } })^2] + [( { [ -2*Pi*x*C*W ] / { [1-( 2*Pi*x)^2*C*L ]^2 + [ 2*Pi*x*C*W ]^2 } } )^2]}^0,5Werte:XL: L = 10 mH (10e-3 H ) → L = 1eE-3; XC: C = 100 nF (100e-9 F) → C = 100E-9;Parameter R:R = 470 Ω (rot, blau) → R = 470; R = 300 Ω (grün); → V = 300;R = 5000 Ω (magenta); → W = 5000;Winkelmodus: Gradmaß (360°); Phasengang ist gestaucht → - 0,90° ≤ 0,001 * [ φ*(f) ] ≤ 0,90°⇒ Der zulässige Widerstandsbereich (R) ist abhängig von der LC-Kombination. ⇐Die Übertragungsfunktion G(ω) dieses Filter (Reihenschwingkreis) wurde bereits im Abschnitt Spannungsüberhöhungen indirekt berechnet. Formelerstellung: siehe Abschnitt „Spannungsüberhöhungen“ im Reihenschwingkreis.f1:|Z(x)| = {[([ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R /[2*Pi*x*L] }^2 ])^2] + [( [ R /(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R /[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5φ(x) = arctan[ ([ R /(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R /[2*Pi*x*L] }^2 ]) / ([ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R /[2*Pi*x*L] }^2 ]) ]Anmerkung: Phasengang gestaucht f2: φ*(x) = c * ( φ(x) ); hier: c = 0,001 f2:φ*(x) = 0,001 * { arctan[ ([ R/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ]) / ([ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ]) ] } _______________________f3:|Z(x)| = {[([ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { V /[2*Pi*x*L] }^2 ])^2] + [( [ V /(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { V /[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5f4:|Z(x)| = {[([ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { W /[2*Pi*x*L] }^2 ])^2] + [( [ W /(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { W /[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5Werte:XL: L = 10 mH (10e-3 H ) → L = 1eE-3; XC: C = 100 nF (100e-9 F) → C = 100E-9;Parameter R:R = 470 Ω (rot, blau) → R = 470; R = 300 Ω (grün); → V = 300;R = 5 kΩ (magenta); → W = 5000;Winkelmodus: Gradmaß (360°) Die magentafarbige Kurve nähert sich asymtotisch der Geraden y=1 (Ansicht z. B. f ∈ [0;100kHz])_______________________________________________Anregung: Wie durch die passende Veränderung der Parameter C, L und R gezeigt werden kann, zum Beispiel in der Kombination L2 =100 mH, C2 =10 nF (L1 * C1 = L2 * C2 ) und R2 = 4,7 kΩ, generieren diese Werte ebenfalls die obige rote Übertragungskurve. Probieren Sie:Parameter für die Funktionsgleichungen f1 und f2: R → R; C → C; L → L;Parameter für die Funktionsgleichungen f3 und f4: R → W; C → A; L → B;f1: |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C* L ] }^2 + { R /[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ R /(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C* L ] }^2 + { R /[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 f3: |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*A*B] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*A* B ] }^2 + { W /[2*Pi*x*B] }^2 ] )^2] + [( [ W /(2*Pi*x*B) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*A* B ] }^2 + { W /[2*Pi*x*B] }^2 ] )^2]}^0,5 f2: φ*(x) = 0,001 * { arctan[ ( [ R/(2*Pi*x* L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C* L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] ) / ( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C* L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] ) ] } f4: φ*(x) = 0,001 * { arctan[ ( [ W/(2*Pi*x*B) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*A* B ] }^2 + { W/[2*Pi*x*B] }^2 ] ) / ( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*A*B] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*A* B ] }^2 + { W/[2*Pi*x*B] }^2 ] ) ] } Beispiel: R = 470; C = 100E-9; L = 10E-3; W = 4700; A = 10E-9; B = 100E-3(Verwenden Sie im Plotfenster den Modus „Full Screen“ und schalten Sie temporär f3 und f4 aus)
Ein Vorteil der Polarform sind u. a. die (relativ) einfachen Berechnungen von Produkten und Quotienten. Dieses kann bei der Aufstellung der Übertragungsfunktion zu vereinfachten Rechnungen führen.Ausgehend von den Formeln für idealen Parallel- und reale Reihen-schwingkreise wird die Übertragungsfunktion erstellt (siehe auch LC-Bandpass).ÜbertragungsfunktionKomplexe WiderständeZur Berechnung der Übertragungsfunktionskurve |G(x)| und der Phasengangkurve werden die Real- und Imaginärteile des komplexen Gesamtwiderstandes und des Widerstandes Z1 benötigt.Neben der Variablen x, x = f sollen nachfolgende Parameter verwendet werden.Parallelschwingkreis (Z1):C1 [F] ⇒ C; L1 [H] ⇒ L; Reihenschwingkreis (Z2):C2 [F] ⇒ A; L2 [H] ⇒ B; R [Ω] ⇒ R (Reihenschaltung Saugkreis + Sperrkreis)|G(x)| = |Z1(x)| / |Zges(x)|f1: |G(x)| = [ {[(0)^2] + [({ 2*Pi*x*L / (1-(2*Pi*x)^2*L*C) })^2]}^0,5 ] / [ {[(R)^2] + [( { 2*Pi*x*L / (1-(2*Pi*x)^2*L*C ) + 2*Pi*x*B - 1/(2*Pi*x*A) } )^2]}^0,5 ]Zur Darstellung der Graphen f2 und f3 (Parameter U und V statt R):f2: |G(x)| = [ {[(0)^2] + [({ 2*Pi*x*L / (1-(2*Pi*x)^2*L*C) })^2]}^0,5 ] / [ {[(V)^2] + [( { 2*Pi*x*L / (1-(2*Pi*x)^2*L*C ) + 2*Pi*x*B - 1/(2*Pi*x*A) } )^2]}^0,5 ]f3: |G(x)| = [ {[(0)^2] + [({ 2*Pi*x*L / (1-(2*Pi*x)^2*L*C) })^2]}^0,5 ] / [ {[(W)^2] + [( { 2*Pi*x*L / (1-(2*Pi*x)^2*L*C ) + 2*Pi*x*B - 1/(2*Pi*x*A) } )^2]}^0,5 ]Werte: XL1: L1= 10 mH → L = 10E-3; XC1: C1 = 100 nF → C = 100E-9; XL2: L2 = 10 mH → B = 10E-3; XC2: C2 = 100 nF → A = 100E-9;Rf1 = 1,2 kΩ (rot)→ R = 1200; Rf2 = 4,7 kΩ (blau) → V = 4700;Rf3 = 320 Ω (grün) → W = 320;Reesüme: Wie das Beispiel zeigt, können gezielte Verwendungen der Polarformen oft zu einfacheren und schnelleren Umformungen führen.