Beispiele für Rechneranwendungen
Beispiele für Rechneranwendungen
Der kleine Rechner im Funktionsbereich „Taschenrechner“ beinhaltet zwei unterschiedliche Rechensysteme: Dieser berechnet Ausdrücke (Terme) ohne Variablen. Hierzu zählen sowohl umfangreiche einfache Summenbildung als auch komplexe geschachtelte Terme. Die Terme bzw. Rechenoperationen werden protokolliert. Protokolle und Listen können gedruckt werden.           Dieser ermöglicht es, a. Wertetabellen zu erstellen, b. Funktionsgraphen zu plotten, c. Riemannsche (bzw. bestimmte) Integrale zu berechnen und zu plotten, d. Funktionsgraphen und die zugehörigen ersten drei Ableitungen zu plotten, e. Alle Plotausgaben incl. Listen übersichtlich zu drucken. (Hinweis: Die Pfeile dienen auch als Link!) 1. Kopiereingabe: Beispiel in Verbindung mit einer interessanten komplexen Gesamtformel. Allein diese Formel zu ergründen ist schon lohnenswert. Durch Kopieren kann die Formel einfach in den Rechner eingegeben und berechnet werden. 2. Fakultät: Beispiel für den Umgang mit extrem großen Zahlen. Hier werden mit Größen operiert, die allen Vorstellungen widersprechen und selbst im Vergleich mit dem Universum nicht mehr bewusst wahrnehmbar sind.     3. Korrektur einer (kaufm.) Addition:  Beispiel zur Fehlerkorrektur einer Kolonnenaddition, auch als Addierstreifen bekannt. Hier wird gezeigt, wie einfach und schnell nicht nur große Zahlenkolonnen von Summanden mittels „Copy and Paste“ und anschließenden Änderungen im Editor korrigiert und neu berechnet werden können. 4. Binomialkoeffizient: Mit Hilfe der Binomialkoeffizientenfunktion (Binomialkoeffizient) werden hier, neben den Wahrscheinlichkeiten im Lottospiel, auch exemplarisch die Berechnungen ein- zelner Koeffizienten eines Binoms vom Grade n erläutert. 5. Binomialverteilung - Bernoulli-Formel: Die Bernoulli-Formel dient (u. a.) zur Berechnungen der Mindestwahrscheinlichkeiten. Am Beispiel eines klassischen „Urnenmodells“ wird die Anwendung ausführlich erläutert. 6. Verteilungsfunktion - Kumulierte Binomialverteilung: Berechnungen für Fragestellungen wie: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man wenigstens die Anzahl von a und maximal die Anzahl von b Treffern erzielt“ sowie weitere exemplarische Falldarstellungen werden hier übersichtlich erläutert und berechnet. (Hinweis: Pfeile sind verlinkt)     1. Fourierreihen - Bildschirmausgaben (Nicht nur für die Elektrotechnik): Hier lassen sich ausführlich die Zusammensetzungen von periodischen Schwingungen durch eine Grundwelle und den zugehörigen Oberwellen zeigen. Der Einfluss von Oberwellen auf die Schwingungsformen sowie das Konvergenzver- halten der Reihen lassen sich hier gut darstellen. Die Wirkungen von Filterschal- tungen, Hoch- und Tiefpass sind hier auch erläuterbar. a. Zusammensetzung einer Rechteckschwingungen, (Reihenentwicklung) b. Zusammensetzung einer Sägezahnschwingungen, (Reihenentwicklung) c. Zusammensetzung einer Dreiecksschwingungen (Reihenentwicklung)     2. Taylorreihe - Bildschirm: Beispiele für Taylorreihen - Mac Laurin – Reihen. Die Näherungsverhalten der einzelnen Reihenentwicklungen der nachfolgenden Funk- tionen können hier exemplarisch aufgezeigt werden. a. Sinusfunktion (Reihenentwicklung) b. e-Funktion (Exponentialfunktion mit der Basis e; Euler) (Reihenentwicklung) c. Natürliche Logarithmusfunktion ( ln(x) ) (Reihenentwicklung)     3. Formeleditor - Demonstrationsbeispiel für die Formellänge: Exemplarisches Beispiel für die Leistungsfähigkeit des Formeleditors. Am Beispiel der näherungsweisen Reihenentwicklung der Funktion f:  x → f(x) = ( sin(x) ) 35 , mit einer Zeichenanzahl von mehr als 7000 Zeichen, lässt sich nicht nur die Leistung des Formeleditors eindrucksvoll demonstrieren. Die Funktion wird im Ausgabefenster gezeichnet. (Hinweis: Pfeile sind verlinkt)     1. Binomialkoeffizienten: Die Koeffizienten eines Binoms vom Grade n werden berechnet und als druckbare Liste ausgeben. 2. Beispiel Stochastik: Experimentieren mit unterschiedlichen Dichtefunktionen - Glockenkurven.     3. Beispiel Stochastik: Experimentieren mit der Verteilungsfunktion.  Die Verteilungsfunktion erhält man durch die Integration der Dichtefunktion.     4. Beispiel Stochastik:  Exemplarische Berechnungen zur Standardnormalverteilung. Die Benutzung der Tabellen für Standardnormalverteilungen werde zugunsten der (hier gezeigten) rechnergestützten numerischen Integration immer weiter eingeschränkt. (Hinweis: Pfeile sind verlinkt)     1. Volumenberechnung: Das Sektglasproblem - Lösung mittels Berechnung eines Drehkörpers. Erstaunlich, wie wenig Sekt sich tatsächlich in einem (nicht gut) gefüllten klassischen Sektglas befindet!     2. Volumenberechnung: Als weiteres Anwendungsbeispiel wird hier das Volumen eines realen Kühlturms (Drehkörper) ausführlich berechnet.     3. Mantelflächenberechnung: Die Mantelfäche des obigen Kühlturms (2.) wird berechnet. Vorausgehend findet hier ein Exkurs zur Bestimmung der allgemeinen Formel für die Mantelflächenberechnung statt. Die unterschiedlichen Ansätze Volumenberechnungen - Mantelberechnung werden hier angesprochen.     4. Oberflächenberechnung: Rund um die Kugel. Berechnungen von Segmentmantelflächen und deren Gemein- samkeiten. Die Entstehung der Oberflächenformel für die Kugel A = 4 π r 2 wird hier ebenfalls gezeigt.     5. Volumen- und Mantelflächenberechnung: Das Volumen und die Mantelfläche einer Bodenvase werden hier exemplarisch gezeigt. Die Annahme, die Mantelflächengröße einzelner Segmentscheiben stehen in Relation zum Durchmesser, wird hier u. a. durch die Mantelflächenfunktion einsichtig widerlegt. (Hinweis: Pfeile sind verlinkt) In diesem Beispielbereich wird das Gebiet der „Komplexen Bauelemente“ thematisiert. Die für die einzelnen Schaltungsbetrachtungen notwendigen Formeln werden auch hier nachvollziehbar mittels komplexer Rechnungen pragmatisch hergeleitet. 1. Übersicht - komplexe Rechnung: Kurze Wiederholung einiger notwendigen Grundlagen der komplexen Rechnungen.     2. Beispiel - Kondensator und Spule: Eigenschaften und Vergleich der idealen und der realen komplexen Bauelemente Kondensator und Spule. Zur Darstellung und zum Vergleich der Kennlinien werden die mathematischen Widerstandsfunktionen und Phasengänge ermittelt.     3. Beispiel Reihenschwingkreise: Ermittlungen der komplexen idealen und realen Widerstandsfunktionen incl. der Funk- tionen für die Phasengänge. Ein Vergleich erfolgt mittels der geplotteten Kennlinien.  Die Bezeichnung „Saugkreis“ lässt sich hier gut erläutern.     4. Beispiel Parallelschwingkreise:  Ermittlungen der komplexen idealen und realen Widerstandsfunktionen incl. der Funk- tionen für die Phasengänge. Ein Vergleich erfolgt mittels der geplotteten Kennlinien. Die Bezeichnung „Sperrkreis“ lässt sich hier gut erläutern.     5. Beispiel Reihen- und Parallelschwingkreise: Ideale und reale Reihen- und Parallelschwingkreise werden hinsichtlich ihrer Kenn- linien bzw. Kurven gegenüber gestellt.     6. Beispiel Spannungsüberhöhungen: Die Eigenschaft der Spannungsüberhöhung am Reihenschwingkreis kann, wenn sie nicht bewusst gewollt ist, zu erheblichen Problemen führen. Anhand der erstellten komplexen Verhältnisfunktion U e / U a (Übertragungsfunktion) wird hier beispielsweise für U a eine um das 600 fache größere Spannung hinsichtlich der Eingangsspannung U e dokumentiert.     7. Beispiel: Tief- und Hochpass Im Gegensatz zu einfachen RC bzw. RL Filter (Filter 1ter Ordnung) werden hier Filter betrachtet, die aus Schwingkreise bestehen. Auch hier werden die Übertragungs- funktionen incl. der Phasengangfunktionen erstellt und grafisch ausgewertet.     8. Beispiel: LC - Bandsperre: Im klassischen Ansatz erfolgt auch hier die formale Erstellung der schon aufwendigen Übertragungsfunktion. Auch hier kann das Verhalten der Bandsperre anhand von wechselnden Parametern erforscht werden. 9. Beispiel: LC - Bandpass In Analogie zur Bandsperre werden hier die Funktionsgleichungen erstellt und mit unterschiedlichen Parameterwerten dargestellt. 10. Beispiel: LC - Bandspass - Phasengang Durch die Analyse der Funktionsgraphen der rein reellen Funktion x → Re(Z übert (x)) sowie der rein imaginären Funktion x → Im(Z übert (x)) der Bandpassübertragungs- funktion x → Z übert (x) = Re(Z übert (x)) + Im(Z übert (x)) werden die Zeigerpositionen jeweils den vier Quadranten zugeordnet. Das Problem der Phasengangfunktion kann hier einsichtig erläutert werden. 11. Exponentialform: Beispiel LC - Bandpass Die formale Berechnung der Übertragungsfunktion durch die ausschließliche Ver- wendung der Algebraische Form führt zu einem hohen Rechenaufwand. Hier wird der Vorteil der zusätzlichen Verwendung der Exponentialform gezeigt, die relativ schnell und einfach zum Ergebnis führt.
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Alle hier nachfolgend angeführten Beispiele können durch „Kopieren und Einfügen“ direkt berechnet werden.
Exemplarische Beispiele:
Exemplarische Beispiele:
(2) Anwendungsbereich: Funktionen
(2) Anwendungsbereich: Funktionen
(3) Anwendungsbereich: Funktionen
(3) Anwendungsbereich: Funktionen
Anwendungsbereich und Übersicht:
Anwendungsbereich und Übersicht:
(1) Anwendungsbereich: „Klassischer Taschenrechner“
(1) Anwendungsbereich: „Klassischer Taschenrechner“
(4) Anwendungsbereich: Funktionen
(4) Anwendungsbereich: Funktionen
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(5) Anwendungsbereich: Funktionen
(5) Anwendungsbereich: Funktionen
- System 2: Der Rechner für Funktionen.
- System 2: Der Rechner für Funktionen.
- System 1: Der klassische Taschenrechner.
- System 1: Der klassische Taschenrechner.