Anwendungsbeispiel:
In diesem Beispiel soll das nachfolgende Summenergebnis, welches z: B. in handschriftlicher Form
vorliegt, kontrolliert werden.
Empfehlung: Wählen Sie die kaufmännische Ansicht mit dem linksstehenden Switch.
12,35 + 41,34 + 13,20 + 15,60 + 14,00 + 32,50 + 31,50 - 5,35 * 9,00 + 22,40 + 31,20 + 24,00 - 23,05 -
17,30 - 22,10 + 16,70 + 2,45 * 7,00 + 23,50 + 12,30 + 47,25 + 98,80 / 8,00 + 23,30 - 3,55-24,10 + 33,80 +
2,35 * 6,00 + 17,50 = 317,79
Da die handschriftliche Vorlage nicht in die PC-Zwischenablage kopiert werden kann, müssen die
Werte in den Taschenrechner per Hand (Tastatur, Maus) eingegeben werden.
Zur Übung: Daten der aktuellen Handeingaben (siehe Protokoll).
12,35+41,34+13,20+15,60+14,00+32,50+31,50-5,35*9,00+22,40+31,20+24,00-23,05-17,30-
22,10+16,07+2,45*7,00+23,50+12,30+47,25+98,80/8,00+23,30-3,55-24,10+33,80+2,35*6,00+17,50 = 317,16
Wie das Ergebnis zeigt, sind die Gesamtsummen (317,79 € ≠ 317,16 € ) nicht gleich.
Die Überprüfungen der Summanden in der Spaltenansicht oder im Protokoll zeigen, dass bei der
Eingabe ein Zahlendreher (Spalte 16: 16,07 statt 16,70) aufgetreten ist.
Es gibt nun viele Möglichkeiten, die Eingabe einfach und schnell zu korrigieren.
Neben den Korrekturen in Verbindungen mit Textverarbeitungsprogrammen bzw. Texteditoren oder
auch direkt im Eingabefenster soll hier exemplarisch der Weg mittels des programmeigenen Editors
und Formelspeichers gezeigt werden. Der Editor unterliegt keiner Eingabenkontrolle.
1.
Aus dem Protokoll (siehe oben) werden die (markierten) Zahlenkolonnen in die Windows
Zwischenablage kopiert (rechte Maustaste, Str C oder Taste C im Protokollfenster).
2.
Die Kopie in das Eingabefeld eingefügen. Es ist unwesentlich, ob das Gleichheitszeichen incl.
Ergebnis mit kopiert wird.
3.
Ein Mausklick öffnet den nachfolgenden Editor. Die Daten aus dem Formelfenster werden
automatisch übernommen. Die Korrektur kann hier erfolgen.
Bei Bedarf kann der Editorinhalt jederzeit in einen der sechs Speicher gesichert werden.
4.
Mit der OK-Taste kann die Korrektur (Modifizierung) abgeschlossen werden. Das Fenster wird
geschlossen und der aktuelle Inhalt wird in das programmseitig bereits gelöschte Rechner-
Eingabefeld kopiert.
5.
Nach dem Start der Berechnung wird nun das (erwartetet) Ergebnis gezeigt (317,79; Zeile 16).
Anmerkung: Sowohl die Protokoll- als auch die Spaltendarstellung können einzeln gedruckt bzw.
gespeichert werden.
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Exemplarische Beispiele:
Exemplarische Beispiele:
Beispiel: Fakultäten
Beispiel: Fakultäten
Dieses Beispiel bezieht sich auf die Taschenrechneranwendung. Es dient
auch zur Verdeutlichung von großen Zahlen anhand von n!:
Aufgabe:
In welchem Größenverhältnis steht die Länge von 25! km
zum Durchmesser des Universums?
Lösung:
Das (beobachtbare) Universum hat einen Durchmesser von ca. 90 Milli-
arden Lichtjahre (wikipedia - Radius > 45 Mrd. Lj.)
Ein Lichtjahr
= 300.000 km/s * 3600 s/h * 24 h/Tag * 365,25 Tage/Jahr
= 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 * (km/s) * (s/h) * (h/Tag)* (Tage/Jahr)
Durchmesser
= 90.000.000.000 * ( 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 ) km/Jahr
= 9E10 * ( 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 ) km
= 8,520552E23 km!
(Anmerkung: 9E10 * ( 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 ) kopieren und einfügen.)
Das Universum hat einen Durchmesser von ca. 8,520552 E 23 km
(also 852.055.200.000.000.000.000.000 km <=> 852,055 Trilliarden Kilometer)
Länge
= 25! km
L
= n!(25) km;
L
= 1,5511210043331e25 km
Die Länge 25! km beträgt 1,5511210043331 E25 km.
Verhältnis L zu D:
L/D = n!(25) / 8,520552E23
(Anmerkung: auch der Ausdruck n!(25) / 8,520552E23 kann durch Kopieren berechnet werden!)
L/D = 18,2044661464785
Ergebnis:
Die Strecke von 25! Kilometern ist mehr als 18 mal so lang wie der Durchmesser des
Universums!
Anhand der nachfolgenden Formel lassen sich die komfortablen
Kopiereigenschaften in das Eingabefeld des Taschenrechners
demonstrieren. Das Ergebnis einer anschließenden Berechnung
dürfte bei manchem ungeübten Nutzer mehr als eine leichte
Verwunderung erzeugen.
Hinweis: Vorhandene Eingaben im Eingabefeld werden durch
einen Kopiervorgang (sinnvollerweise) nicht gelöscht.
Falls eine Neueingabe erfolgen soll, ist das Eingabefeld
durch „Clear“ (z. B. Taste C, ein doppelter Mausklick im
Eingabefeld oder die Eingabe eines Gitterkreuzes usw.)
zu löschen.
Das Kopierverfahren gilt natürlich auch für den Bereich
„Funktionen“ (f:x->f(x)).
Der nachfolgende Ausdruck soll lediglich die Leistungsstärke der „Copy and Paste“ Anwendung
demonstrieren. Die verwendeten Terme sind aus mathematische Grundbeziehungen, z. B. aus
dem Bereich der Trigonometrie, der Potenz- und Logarithmengesetze zusammengesetzt. Sie
sollten sich eingentlich auch ohne Taschenrechner lösen lassen.
Zur Fehlervermeidung muss jede Operation bzw. jeder Operator angegeben werden
(Beispiel: 3*x ≙ 3x)!
Die nachfolgende Formel entspricht der obigen Aufgabe. Unter Berüchsichtigung der
Abarbeitungsregel „von links nach rechts“ in Verbindung mit der mathem. Hirachie müssen nicht
alle Klammern verwendet werden.
Anmerkung: sqr - sqare (Quadrat); sqrt - square root (Quadratwurzel) ⬅ sqr(2) ≙ 3
2
und sqrt(3) ≙ 3
0,5
(siehe auch: Definierte Funktionen und Fehlermeldungen - Abschnitt: Definierte Funktionen)
Kopieren Sie den obigen grünen Term in die Taschenrechnereingabe und drücken Sie die
Entertaste (Knickpfeiltaste) bzw. die Taste „=“.
Der obige Term ist durch seine Schreibweise teilweise unübersichtlich. Durch zusätzliche
Klammern und Leerzeichen läst sich der Term auch übersichtlicher gestalten. Es wird lediglich
zwischen geöffneten und geschlossenen Klammern unterschieden. Die Formen der Klammern -
([{ bzw. )]} - sind bedeutungslos.
Anmerkung: Terme können auch abschnittsweise als Teilterme berechnet werden.
Auch der obige Ausdruck kann durch Kopieren komplette oder teilweise direkt in den Rechner
eingegeben werden.
Beispiel: Korrekturen - Addierstreifen
Beispiel: Korrekturen - Addierstreifen
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Die Bernoulli-Formel dient (u. a.) zur Berechnung der Mindestwahrscheinlichkeit.
Hierbei gilt:
n:
Anzahl der durchzuführenden (unabhängigen) Versuche
(n wird als Länge der Bernoulli-Kette bezeichnet)
p:
(Konstante) Wahrscheinlichkeit (für alle Versuche), dass das Ereignis eintritt
k:
Anzahl der erfolgreichen Versuche (Treffer)
P(X=k) bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gesucht wird.
Aus einer Urne mit 800 schwarzen und 200 weißen Kugeln (also insgesamt 1000
Kugeln) werden nacheinander jeweils eine Kugel entnommen und anschließend wieder
(in die Urne) zurückgelegt.
Beispiel 1: Eine Fragestellung könnte nun lauten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10
Ziehungen nur ein einziges mal eine weiße Kugel gezogen wird (alle weiteren 9
gezogenen Kugeln sind schwarz)?
Button: Bernoulli-Formel B(n,p;k)
Werte: n = 10; p = 0,2 (1000 Kugeln, davon 200 weiße); k = 1
Ergebnis: B(10|0,2|1) = 0,268435456
Beispiel 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der weißen Kugeln gezogen werden?
Die Anzahl der erwarteten Erfolge muss nun Null sein.
Ergebnis: B(10|0,2|0) = 0,1073741824
Anmerkung: Rechner im Ausgabemodus „Technische Anzeige“ betreiben. Die „Kaufmännische Anzeige rundet auf zwei
Stellen!
Beispiel: Bernoulli-Formel:
Beispiel: Bernoulli-Formel:
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Binomialverteilung - Bernoulli-Formel:
Binomialverteilung - Bernoulli-Formel:
Beispiel Urnenmodell:
Beispiel Urnenmodell:
Fragestellungen wie: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man wenigstens die Anzahl von a
und maximal die Anzahl von b Treffern erzielt“, führen auf die nachstehende Formel zurück.
Die Verteilungsfunktion P( X ≤ b ) entspricht dem Sonderfall a=0, also P( 0 ≤ X ≤ b )
Anmerkung: Wie zu erkennen ist, entspricht die obere Formel für a=b als Sonderfall der
Bernoullische Formel P( X = a ) = P( a ≤ X ≤ a ).
Exemplarische Fallbetrachtungen:
1.
genau a Treffer:
P( X = a )
= P( a ≤ X ≤ a )
2.
weniger als a Treffer:
P( X < a )
= P( 0 ≤ X ≤ a-1 )
3.
wenigstens a Treffer
P( X ≥ a )
= P( a ≤ X ≤ n )
4.
mehr als a Treffer:
P( X > a )
= P( a+1 ≤ X ≤ n )
5.
mindestens a und weniger als b Treffer:
P( a ≤ X < b )
= P( a ≤ X ≤ b-1 )
6.
usw.
Ergänzung: Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ergebnis ein Treffer ist, liegt bei 1.
Hieraus folgt: P( X ≤ a ) + P( X > a ) = P( 0 ≤ X ≤ n ) mit P( 0 ≤ X ≤ n ) = 1.
Folglich gilt auch:
Button für die Binomialverteilung SB(n|p|[a;b])
Aus einer Urne mit 800 schwarzen und 200 weißen Kugeln (also insgesamt 1000
Kugeln) werden nacheinander jeweils eine Kugel entnommen und anschließend wieder
(in die Urne) zurückgelegt.
Es sollen 50 Ziehungen stattfinden.
In Anlehnung an die obigen exemplarischen Fallbetrachtungen könnten Aufgabenstellungen nun
folgendermaßen lauten:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis, eine weiße Kugel wird gezogen, eintritt?
( Anzahl Ziehungen: n = 50; konstante Wahrscheinlichkeit: p = 0,2 )
1.
genau 20-mal ↔ P( 20 ≤ X ≤ 20 ):
oder, da Sonderfall ↔ P( X = 20 ):
2.
weniger als 20-mal ↔ P( 0 ≤ X ≤ 20-1 ) ↔ P( X < 20 ):
3.
wenigstens 20-mal ↔ P( 20 ≤ X ≤ 50 ) ↔ P( X ≥ 20 ):
Betrachtungen: Fall 2 - Fall 3:
Im Fall 2 „P( X < 20 )“ wird nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ereignisse unter
20 liegt, also kein Treffer ist ebenfalls ein gültiges Ereignis, gefragt.
Im Fall 3 „P( X ≥ 20 )“ wird nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ereignisse bei
wenigsten 20 liegen, gefragt.
Nun gilt für jedes Ereignis, entweder es erfüllt den Fall 2 oder es erfüllt den Fall 3. Die
Wahrscheinlichkeit muss demnach bei 1 liegen.
Also: P( X < 20 ) + P( X ≥ 20 ) = 1; Rechn.: 0,999067563510579 + 0,000932436489421123 = 1
4.
mehr als 20 mal ↔ P( 20+1 ≤ X ≤ 50 ):
5.
mindestens 20 mal und weniger als 40 mal ↔ P( 20 ≤ X ≤ 40-1 ):
Anmerkung: Rechner im Ausgabemodus „Technische Anzeige“ betreiben. Die „Kaufmännische Anzeige rundet auf zwei
Stellen!
Beispiel: Binomialverteilung
Beispiel: Binomialverteilung
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Binomialverteilung (kumulierte):
Binomialverteilung (kumulierte):
Beispiel zur Binomialverteilung - Urnenmodell:
Beispiel zur Binomialverteilung - Urnenmodell:
P( X > a ) = 1 - P( X ≤ a )
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Beispiel: Binomialkoeffizient
Beispiel: Binomialkoeffizient
Beim Binomialkoeffizienten handelt es sich um mathematische Funk-
tionen, die u. a. in der Kombinatorik und Stochastik verwendet werden.
Mit ihr können z. B. die Anzahlen der Möglichkeiten berechnet werden, um
k Objekte aus einer Menge mit n Objekten anzuordnen.
Eine der bekanntesten Anwendungen ist wohl die Berechnung der Anzahl der möglichen
Zahlenkombinationen beim Zahlenlotto (Kombination ohne Wiederholung).
Aufgabe Lottoziehung:
Frage: Wie groß ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus 49 Zahlen eine Kombination von sechs Zahlen
zu bilden?
Lösung: Die Anzahl beträgt „n über k“ Möglichkeiten.
Für n = 49 und k = 6 lautet das Ergebnis: 13.983.816
Resümee: Es sind folglich 13.983.816 Lottofelder (ohne Fehler) auszufüllen, um gesichert
einmal 6 richtige Zahlen zu haben.
Selbst für „3 Richtige“ liegt die Anzahl der Möglichkeiten noch bei 18.424.
Als ein Beispiel aus der elementaren Algebra wird hier die exemplarische Berechnung einzelner
Koeffizienten c
k
eines Binoms vom Grade n erläutert.
Der Binomischer Lehrsatz in der allgemeinen Form lautet:
Für n=2 folgt hieraus die erste binomische Formel ( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
.
Der binomische Lehrsatz in der ausmultiplizierten Form:
Berechnung einiger Koeffizienten:
Für n = 50, also (a+b)
50
errechnen sich für die einzelnen (wahllos ausgesuchten) Koeffizienten
c
k
= bin( 50 | k) folgende Werte:
c
0
= 1;
c
3
= 19.600;
c
4
= 230.300;
c
50
= 1;
c
47
= 19.600;
c
46
= 230.300;
c
10
= 10.272.278.170;
c
15
= 2.250.829.575.120;
c
20
= 47.129.212.243.960;
c
40
= 10.272.278.170;
c
35
= 2.250.829.575.120;
c
30
= 47.129.212.243.960;
c
25
= 126.410.606.437.752;
Hinweis: Siehe hierzu auch das Beispiel zur Listenausgabe aller Koeffizienten eines Binoms vom
Grade n im Abschnitt Anwendungsbeispiele 3, Beispiel Binomialkoeffizienten!
Beispiel - Algebra:
Beispiel - Algebra:
(a+b)
n
= c
0
a
n
b
0
+ c
1
a
(n-1)
b
1
+ c
2
a
(n-2)
b
2
+ c
3
a
(n-3)
b
3
+ … + c
(n-2)
a
2
b
(n-2)
+ c
(n-1)
a
1
b
(n-1)
+ c
n
a
0
b
n
Vollständige mathem. Darstellung:
Vollständige mathem. Darstellung:
Für den kleinen Schulrechner gelten die normalen folgenden mathematischen Rechenregeln. Mit
Ausnahme der führenden Vorzeichens sind die üblichen Abkürzungen, zum Beispiel für die
verkürzte Darstellung einer Multiplikation, nicht zulässig. Rechenzeichen (Operatoren) müssen zu
Gunsten einer eindeutigen Darstellung immer angeben werden.
Beispiel: x*y*z für die Kurzschreibweise xyz.
Bezüglich der Potenzrechnungen - Potenzieren von Potenzen - kann man im Netz
unterschiedliche Deutungen finden.
Der verkürzte Ausdruck a hoch b hoch c (also a^b^c) wird nach der Rechenregel - von links nach
rechts auflösen - vom kleinen Rechner als (a
b
)
c
gedeutet.
Um eine eindeutige Formeldarstellung zu gewährleisten, wird empfohlen, für den verkürzten
Ausdruck a^b^c die mathematisch vollständige Form (a^b)^c zu verwenden!
Vorzeichen bei Potenzen beziehen sich auf den Potenzwert und nicht auf den Basiswert.
Soll die Basis der Potenz mit einem Vorzeichen versehen werden, so ist diese zu klammern!
Rechner bzw. Computer verfügen nur über eine endliche Anzahl von Speicherzellen. Dieses trift
auch für das Rechenwerk ( ALU - arithmetic logic unit) zu, sodasss u. a. für eine Zahl nur eine
gewisse Anzahl von Bit, z. B. 8, 16, 32 Bit usw., zur Verfügung steht. Dieses schränkt den
Zahlenraum der ganzen Zahlen ein und führt bei rationalen und irrationalen Zahlen, dargestellt
als Gleitkommazahlen (floating-point number), zu Problemen hinsichtlich der Genauigkeit. Zur
Verbesserung der Ergebnisse werden aufwendige mathematische Verfahren angewendet.
Dennoch lassen sich diese Fehler, die allgemein auch als Rundungsfehler bezeichnet werden,
nicht immer ganz verhindern.
Anmerkung: In diesem Zusammenhang soll hier vollständigerweise auch auf das Problem der Fehlerfortpflanzung
hingewiesen werden.
Zusammenfassung:
Rundungsfehler entstehen in Computern u. a. durch die begrenzte Genauigkeit von
Gleitkommazahlen, die zur Darstellung von nicht ganzzahligen Zahlen verwendet werden.
Beispiel:
Rechnung: 1-1/3*3 = 1,00001387379201E-15
Auswertung: 1,00001387379201E-15 = 0,00000000000000100001387379201
Der Rundungsfehler liegt hier im Bereich von einem Billiardstel!
Zur Vorstellung:
Der mittlere Abstand der Erde zur Sonne beträgt eine Astronomische Einheit (AE bzw. AU
Astronomical Unit), also 149.597.870 km oder 149.597.870.000.000 mm!
Bei einer Messung der mittleren Entfernung zwischen Erde - Sonne (149.597.870 km) würde der
Messfehler ca. 0,15 mm betragen!
Unter berücksichtigung der systembedingten Rundungsfehler gilt:
Rechenregeln - mathematische Hirachien
Rechenregeln - mathematische Hirachien
Anwendungsbereiche: Taschenrechner u. Funktionenrechner
Anwendungsbereiche: Taschenrechner u. Funktionenrechner
Mathematische Hinweise und Anmerkungen
Mathematische Hinweise und Anmerkungen
Anmerkungen zur Potenzrechnungen
Anmerkungen zur Potenzrechnungen
Potenzieren von Potenzen
Potenzieren von Potenzen
Potenzen mit negativen Vorzeichen
Potenzen mit negativen Vorzeichen
Beispiel - Kombinatorik:
Beispiel - Kombinatorik:
Kopierbeispiel (ab Vers. 3.12.xx):
Kopierbeispiel (ab Vers. 3.12.xx):
-a
b
= -(a
b
) aber -a
b
≠ (-a)
b
Fehlerbetrachtung:
Fehlerbetrachtung:
Schlussfolgerung:
Schlussfolgerung:
Mathematische Rechenregeln:
Mathematische Rechenregeln:
Dezimalzahlen (Gleitkommazahlen - Floating Point)
Dezimalzahlen (Gleitkommazahlen - Floating Point)
+
=
10^(sqr(cos(2))+sqr(sin(2)))*7,5^tan(0)*2^ld(5) /
(sin(1,5)^2+cos(1,5)^2) / (sqrt(625^0,25)^2*arsinh(sinh(3))/3) /
10^(cot(arccos(cos(n!(3)/6))+1)*tan(2)) /
(-sin(arccos(0))^(1-Cos(5)^2)+2*cos(2)*tan(2)/sin(2)) +
(ln(128)/ln(2)+arcosh(cosh(sqrt(log(64|4)^4)))) / -(4^0,5)^-log(16|0,5)
{ [ [ [ 10^( cos(2)^2+sin(2)^2 ) * 7,5^tan(0) * 2^ld(5) /
( sin(1,5)^2 + cos(1,5)^2 )
] /
( sqrt( 625^0,25 )^2 * ( arsinh( sinh( 3 )) /3 ) )
] /
10^{ cot( arccos[ cos( n!(3) / 6 ) ] +1 ) * tan(2) }
] /
[ -sin( arccos(0) )^( 1 - cos(5)^2 ) + 2*cos(2) * tan(2) / sin(2) ] }
+ { [ ln(128) / ln(2) + arcosh[ cosh{ sqrt( log(64|4)^4) } ] ]
/
[ -(4^0,5)^{ -log(16|0,5) } ] }
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