Anwendungsbeispiel:
In diesem Beispiel soll das nachfolgende Summenergebnis, welches z: B. in handschriftlicher Form
vorliegt, kontrolliert werden.
Empfehlung: Wählen Sie die kaufmännische Ansicht mit dem linksstehenden Switch.
12,35 + 41,34 + 13,20 + 15,60 + 14,00 + 32,50 + 31,50 - 5,35 * 9,00 + 22,40 + 31,20 + 24,00 - 23,05 -
17,30 - 22,10 + 16,70 + 2,45 * 7,00 + 23,50 + 12,30 + 47,25 + 98,80 / 8,00 + 23,30 - 3,55-24,10 + 33,80 +
2,35 * 6,00 + 17,50 = 317,79
Da die handschriftliche Vorlage nicht in die PC-Zwischenablage kopiert werden kann, müssen die
Werte in den Taschenrechner per Hand (Tastatur, Maus) eingegeben werden.
Zur Übung: Daten der aktuellen Handeingaben (siehe Protokoll).
12,35+41,34+13,20+15,60+14,00+32,50+31,50-5,35*9,00+22,40+31,20+24,00-23,05-17,30-
22,10+16,07+2,45*7,00+23,50+12,30+47,25+98,80/8,00+23,30-3,55-24,10+33,80+2,35*6,00+17,50 = 317,16
Wie das Ergebnis zeigt, sind die Gesamtsummen (317,79 € ≠ 317,16 € ) nicht gleich.
Die Überprüfungen der Summanden in der Spaltenansicht oder im Protokoll zeigen, dass bei der
Eingabe ein Zahlendreher (Spalte 16: 16,07 statt 16,70) aufgetreten ist.
Aus dem Protokoll wird nun die Aufgabe als Kopie in das Eingabefeld eingefügt. Es ist
unwesentlich, ob das Gleichheitszeichen incl. Ergebnis mit kopiert wird.
Die Eingabe wird bis zum Wert 16,07 hoch gescrollt und anschließend korrigiert (16,70). Die
Entertaste bzw. der Button „=“ starten dann die neue Berechnung.
Das Ergebnis bestätigt die Rechnung.
Anmerkung: Sowohl die Protokoll- als auch die Spaltendarstellung können einzeln gedruckt bzw.
gespeichert werden.
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Der kleine Rechner beinhaltet im Funktionsbereich „Taschenrechner“
zwei unterschiedliche Rechensysteme.
Die hier aufgeführten Beispiele sind alle in Verbindung mit dem
Taschenrechner ausführbar.
Der (klassischen) Taschenrechner berechnet Ausdrücke (Terme) ohne
Lösungsvariablen. Hierzu zählen sowohl einfache Summenbildungen
als auch komplexe geschachtelte Terme.
Alle Terme bzw. Rechenoperationen werden protokolliert.
Die hier nachfolgend angeführten Beispiele können durch Kopieren
und Einfügen direkt berechnet werden.
(Hinweis: Die Pfeile dienen auch als Links!)
1. Kopiereingabe:
Beispiel in Verbindung mit einer interessanten komplexen Gesamtformel.
Allein diese Formel zu ergründen ist schon lohnenswert.
2. Fakultät:
Beispiel für den Umgang mit extrem großen Zahlen.
Hier werden mit Größen operiert, die selbst durch Vergleiche mit dem Universum nicht mehr
vorstellbar sind.
3. Korrektur einer (kaufm.) Addition:
Exemplarisches Beispiel zur Fehlerkorrektur einer Kolonnenaddition - Addierstreifen.
4.
Binomialkoeffizient:
Eine der bekanntesten Anwendungen ist wohl die Berechnung der Anzahl der möglichen
Zahlenkombinationen beim Zahlenlotto (Kombination ohne Wiederholungen).
Als ein weiteres Beispiel werden hier exemplarisch die Berechnungen einzelner
Koeffizienten eines Binoms vom Grade n erläutert.
5.
Binomialverteilung - Bernoulli-Formel:
Die Bernoulli-Formel dient (u. a.) zur Berechnung der Mindestwahrscheinlichkeit. Am
Beispiel eines klassischen „Urnenmodells“ wird die Anwendung ausführlich erläutert.
6.
Verteilungsfunktion - Kumulierte Binomialverteilung:
Berechnungen für Fragestellungen wie: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man
wenigstens die Anzahl von a und maximal die Anzahl von b Treffern erzielt“ ?
Weitere exemplarische Falldarstellungen werden hier ebenfalls übersichtlich erläutert und
berechnet.
Exemplarische Beispiele:
Exemplarische Beispiele:
Beispiel: Fakultäten
Beispiel: Fakultäten
Dieses Beispiel bezieht sich auf die Taschenrechneranwendung. Es dient
auch zur Verdeutlichung von großen Zahlen anhand von n!:
Aufgabe:
In welchem Größenverhältnis steht die Länge von 25! km
zum Durchmesser des Universums?
Lösung:
Das (beobachtbare) Universum hat einen Durchmesser von ca. 90 Milli-
arden Lichtjahre (wikipedia - Radius > 45 Mrd. Lj.)
Ein Lichtjahr
= 300.000 km/s * 3600 s/h * 24 h/Tag * 365,25 Tage/Jahr
= 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 * (km/s) * (s/h) * (h/Tag)* (Tage/Jahr)
Durchmesser
= 90.000.000.000 * ( 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 ) km/Jahr
= 9E10 * ( 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 ) km
= 8,520552E23 km!
(Anmerkung: 9E10 * ( 3E5 * 3,6E3 * 24 * 365,25 ) kopieren und einfügen.)
Das Universum hat einen Durchmesser von ca. 8,520552 E 23 km
(also 852.055.200.000.000.000.000.000 km <=> 852,055 Trilliarden Kilometer)
Länge
= 25! km
L
= n!(25) km;
L
= 1,5511210043331e25 km
Die Länge 25! km beträgt 1,5511210043331 E25 km.
Verhältnis L zu D:
L/D = n!(25) / 8,520552E23
(Anmerkung: auch der Ausdruck n!(25) / 8,520552E23 kann durch kopieren berechnet werden!)
L/D = 18,2044661464785
Ergebnis:
Die Strecke von 25! Kilometern ist mehr als 18 mal so lang wie der Durchmesser des
Universums!
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Beispiel: Kopiereingabe
Beispiel: Kopiereingabe
Anhand der nachfolgenden Formel lassen sich die komfortablen Kopier-
eigenschaften in das Eingabefeld des Taschenrechners demonstrieren.
Das Ergebnis einer anschließenden Berechnung dürfte bei manchem un-
geübten Nutzer mehr als eine leichte Verwunderung erzeugen.
Anmerkung:
Das Kopierverfahren gilt natürlich auch für den Bereich
Funktionen.
Anleitung:
Kopieren Sie den nachfolgenden grünen Term in die
Taschenrechnereingabe und drücken Sie die Entertaste
(Knickpfeiltaste) bzw. die Taste „=“.
10^(sqr(cos(2))+sqr(sin(2)))*7,5^tan(0)*2^ld(5)/(sin(1,5)^2+cos(1,5)^2)/
sqrt(sqr(25^0,5))*arsinh(sinh(3))/3/10^(cot(arccos(cos(n!(3)/6))+1)*tan(2))
Anmerkung: sqr - sqare (Quadrat); sqrt - square root (Quadratwurzel)
Die nachfolgende Formelschreibweise ist ebenfalls gültig.
10^(cos(2)^2+sin(2)^2)*7,5^tan(0)*2^ld(5)/(sin(1,5)^2+cos(1,5)^2)/
((25^0,5)^2)^0,5*arsinh(sinh(3))/3/10^(cot(arccos(cos(n!(3)/6))+1)*tan(2))
Diskutieren Sie das Ergebnis.
Hilfe: Sie können den Ausdruck durch zusätzliche unterschiedliche Klammern auch übersicht-
licher gestalten (und einzeln berechnen).
{ [ { 10^[ sqr(cos(2)) + sqr(sin(2)) ] * 7,5^tan(0) * 2^ld( 5 ) } /
{ sin(1,5)^2 + cos(1,5)^2 } ] /
[ sqrt( sqr(25^0,5)) * arsinh(sinh(3))/3 ] } /
{ 10^[ cot( arccos{ cos( n!(3) /6 ) } + 1 ) * tan( 2 ) ] }
Auch der komplette obige Ausdruck kann durch Kopieren direkt in den Rechner eingegeben
werden.
Beispiel: Korrekturen - Addierstreifen
Beispiel: Korrekturen - Addierstreifen
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Die Bernoulli-Formel dient (u. a.) zur Berechnung der Mindestwahrscheinlichkeit.
Hierbei gilt:
n:
Anzahl der durchzuführenden (unabhängigen) Versuche
(n wird als Länge der Bernoulli-Kette bezeichnet)
p:
(Konstante) Wahrscheinlichkeit (für alle Versuche), dass das Ereignis eintritt
k:
Anzahl der erfolgreichen Versuche (Treffer)
P(X=k) bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer gesucht wird.
Aus einer Urne mit 800 schwarzen und 200 weißen Kugeln (also insgesamt 1000
Kugeln) werden nacheinander jeweils eine Kugel entnommen und anschließend wieder
(in die Urne) zurückgelegt.
Beispiel 1: Eine Fragestellung könnte nun lauten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10
Ziehungen nur ein einziges mal eine weiße Kugel gezogen wird (alle weiteren 9
gezogenen Kugeln sind schwarz)?
Button: Bernoulli-Formel B(n,p;k)
Werte: n = 10; p = 0,2 (1000 Kugeln, davon 200 weiße); k = 1
Ergebnis: B(10|0,2|1) = 0,268435456
Beispiel 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der weißen Kugeln gezogen werden?
Die Anzahl der erwarteten Erfolge muss nun Null sein.
Ergebnis: B(10|0,2|0) = 0,1073741824
Anmerkung: Rechner im Ausgabemodus „Technische Anzeige“ betreiben. Die „Kaufmännische Anzeige rundet auf zwei
Stellen!
Beispiel: Bernoulli-Formel:
Beispiel: Bernoulli-Formel:
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Binomialverteilung - Bernoulli-Formel:
Binomialverteilung - Bernoulli-Formel:
Beispiel Urnenmodell:
Beispiel Urnenmodell:
Fragestellungen wie: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man wenigstens die Anzahl von a
und maximal die Anzahl von b Treffern erzielt“, führen auf die nachstehende Formel zurück.
Die Verteilungsfunktion P( X ≤ b ) entspricht dem Sonderfall a=0, also P( 0 ≤ X ≤ b )
Anmerkung: Wie zu erkennen ist, entspricht die obere Formel für a=b als Sonderfall der
Bernoullische Formel P( X = a ) = P( a ≤ X ≤ a ).
Exemplarische Fallbetrachtungen:
1.
genau a Treffer:
P( X = a )
= P( a ≤ X ≤ a )
2.
weniger als a Treffer:
P( X < a )
= P( 0 ≤ X ≤ a-1 )
3.
wenigstens a Treffer
P( X ≥ a )
= P( a ≤ X ≤ n )
4.
mehr als a Treffer:
P( X > a )
= P( a+1 ≤ X ≤ n )
5.
mindestens a und weniger als b Treffer:
P( a ≤ X < b )
= P( a ≤ X ≤ b-1 )
6.
usw.
Ergänzung: Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ergebnis ein Treffer ist, liegt bei 1.
Hieraus folgt: P( X ≤ a ) + P( X > a ) = P( 0 ≤ X ≤ n ) mit P( 0 ≤ X ≤ n ) = 1.
Folglich gilt auch:
Button für die Binomialverteilung SB(n|p|[a;b])
Aus einer Urne mit 800 schwarzen und 200 weißen Kugeln (also insgesamt 1000
Kugeln) werden nacheinander jeweils eine Kugel entnommen und anschließend wieder
(in die Urne) zurückgelegt.
Es sollen 50 Ziehungen stattfinden.
In Anlehnung an die obigen exemplarischen Fallbetrachtungen könnten Aufgabenstellungen nun
folgendermaßen lauten:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis, eine weiße Kugel wird gezogen, eintritt?
( Anzahl Ziehungen: n = 50; konstante Wahrscheinlichkeit: p = 0,2 )
1.
genau 20-mal ↔ P( 20 ≤ X ≤ 20 ):
oder, da Sonderfall ↔ P( X = 20 ):
2.
weniger als 20-mal ↔ P( 0 ≤ X ≤ 20-1 ):
3.
wenigstens 20-mal ↔ P( 20 ≤ X ≤ 50 ):
Anmerkung:
Im Fall 2 „P( X < 20 )“ wird nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ereignisse unter
20 liegt, also kein Treffer ist ebenfalls ein gültiges Ereignis, gefragt.
Im Fall 3 „P( X ≥ 20 )“ wird nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ereignisse bei
wenigsten 20 liegen, gefragt.
Nun gilt für jedes Ereignis, entweder es erfüllt den Fall 2 oder es erfüllt den Fall 3. Die
Wahrscheinlichkeit muss demnach bei 1 liegen.
Also: P( X < 20 ) + P( X ≥ 20 ) = 1; Rechn.: 0,999067563510579 + 0,000932436489421123 = 1
4.
mehr als 20 mal ↔ P( 20+1 ≤ X ≤ 50 ):
5.
mindestens 20 mal und weniger als 40 mal ↔ P( 20 ≤ X ≤ 40-1 ):
Anmerkung: Rechner im Ausgabemodus „Technische Anzeige“ betreiben. Die „Kaufmännische Anzeige rundet auf zwei
Stellen!
Beispiel: Binomialverteilung
Beispiel: Binomialverteilung
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Binomialverteilung (kumulierte):
Binomialverteilung (kumulierte):
Beispiel zur Binomialverteilung - Urnenmodell:
Beispiel zur Binomialverteilung - Urnenmodell:
P( X > a ) = 1 - P( X ≤ a )
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Anwendungsbereich: Taschenrechner
Beispiel: Binomialkoeffizient
Beispiel: Binomialkoeffizient
Beim Binomialkoeffizienten handelt es sich um mathematische Funk-
tionen, die u. a. in der Kombinatorik und Stochastik verwendet werden.
Mit ihr können z. B. die Anzahlen der Möglichkeiten berechnet werden, um
k Objekte aus einer Menge mit n Objekten anzuordnen.
Eine der bekanntesten Anwendungen ist wohl die Berechnung der Anzahl der möglichen
Zahlenkombinationen beim Zahlenlotto (Kombination ohne Wiederholung).
Aufgabe Lottoziehung:
Frage: Wie groß ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus 49 Zahlen eine Kombination von sechs Zahlen
zu bilden?
Lösung: Die Anzahl beträgt „n über k“ Möglichkeiten.
Für n = 49 und k = 6 lautet das Ergebnis: 13.983.816
Resümee: Es sind folglich 13.983.816 Lottofelder (ohne Fehler) auszufüllen, um gesichert
einmal 6 richtige Zahlen zu haben.
Selbst für „3 Richtige“ liegt die Anzahl der Möglichkeiten noch bei 18.424.
Als ein Beispiel aus der elementaren Algebra wird hier die exemplarische Berechnung einzelner
Koeffizienten c
k
eines Binoms vom Grade n erläutert.
Der Binomischer Lehrsatz in der allgemeinen Form lautet:
Für n=2 folgt hieraus die erste binomische Formel ( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
.
Der binomische Lehrsatz in der ausmultiplizierten Form:
Berechnung einiger Koeffizienten:
Für n = 50, also (a+b)
50
errechnen sich für die einzelnen (wahllos ausgesuchten) Koeffizienten
c
k
= bin( 50 | k) folgende Werte:
c
0
= 1;
c
3
= 19.600;
c
4
= 230.300;
c
50
= 1;
c
47
= 19.600;
c
46
= 230.300;
c
10
= 10.272.278.170;
c
15
= 2.250.829.575.120;
c
20
= 47.129.212.243.960;
c
40
= 10.272.278.170;
c
35
= 2.250.829.575.120;
c
30
= 47.129.212.243.960;
c
25
= 126.410.606.437.752;
Hinweis: Siehe hierzu auch das Beispiel zur Listenausgabe aller Koeffizienten eines Binoms vom
Grade n im Abschnitt Anwendungsbeispiele 3, Beispiel Binomialkoeffizienten!
Beispiel - Kombinatorik:
Beispiel - Kombinatorik:
Beispiel - Algebra:
Beispiel - Algebra:
(a+b)
n
= c
0
a
n
b
0
+ c
1
a
(n-1)
b
1
+ c
2
a
(n-2)
b
2
+ c
3
a
(n-3)
b
3
+ … + c
(n-2)
a
2
b
(n-2)
+ c
(n-1)
a
1
b
(n-1)
+ c
n
a
0
b
n
