Dieser Rechner für Funktionen ermöglicht es unter anderem, a. Wertetabellen zu erstellen, b. Funktionsgraphen zu plotten, c. Riemannsche Summen zu plotten bzw. bestimmte Integrale zu berechnen, d. Funktionsgraphen und die zugehörigen ersten drei Ableitungen grafisch auszugeben,  e. Listen zu generieren usw. Alle angeführten Beispiele können durch Kopieren und Einfügen (copy and paste) direkt im Bereich „Funktioneneingabe“ in die Eingabefelder f 1 bis f 4 übernommen werden. Die hier zu sehenden Screenshots der Plotausgaben sind zur besseren Wiedergabe (Skalierung der Screenshots) bewusst nicht im Modus „Vollbildschirm“ erstellt worden. Eine zusätzliche Druckausgabe der Ergebnisse ist immer möglich. Bitte beachten Sie, dass nicht nur bei Übertragungskurven gerne logarithmische Abzissen- teilungen (halblogarithmische Darstellungen) benutzt werden. Die hier verwendeten Koordinaten- teilungen sind linear. Achtung: Zur besseren Übersicht sollten die Berechnungen und Darstellungen der Phasenlagen, wie in den nachfolgenden Beispielen gezeigt, im Modus „Winkel: Gradmaß (360°)“ erfolgen. Es ist optisch schon ein Unterschied, ob z. B. ein rechter Winkel durch 90° Grad oder durch den Wert „1,5707963267949“ repräsentiert wird. Bitte wählen Sie mit dem links dargestellten Button (im Hauptmenü) die Winkeleinstellung „Grad“ (G). Die nachfolgenden Beispiele sollen die Möglichkeiten zeigen, auch komplexe technische Proble- matiken relativ einfach (ohne aufwendige Versuchsdurchführungen) nur mittels physikalischer Gesetzmäßigkeiten durch mathematisch erzeugten Kurven zu ergründen. Die notwendigen Termumwandlungen werden hier übersichtlich fast rein formal durchgeführt. Eine Optimierung ist nicht notwendig, da die Lösungsterme (in Abhängigkeit der Frequenz) vom „Kleinen Taschenrechner“ ausgewertet werden sollen und dieser hinsichtlich der Formellänge (praktisch) unbeschränkt ist. Zum Ansatz kommen komplexe Zahlen in ihrer kartesischen Darstellungform. Ein abschnittsweiser Wechsel zur Polarform kann den Rechnungsaufwand wesentlich verkürzen, insbesondere, wenn die Real- und Imaginärteile des komplexen Gesamtwiderstandes usw. bereits vorliegen bzw. berechnet worden sind. Dieses wird eindrucksvoll im Beispiel „Exponentialform: Beispiel LC - Bandpass“ erläutert. Die nachstehenden Beispiele eröffnen ein weites Feld zum Experimentieren mit modifizierten Parametern und Werten. Sie ermöglichen es, die Fragen nach den Zusammenhängen in diesen anspruchsvollen Bereichen der komplexen Bauelemente (inklusiv Phasenverschiebungen) zu erforschen, zu durchdringen und vorhandene Erkenntnisse zu festigen. Dieses wäre sonst nur mit aufwendigen und permanent zu modifizierenden Versuchsanordnungen möglich. Die in den Beispielen entwickelten Formeln und Funktionen können direkt in die Eingabebereiche des „Kleinen Rechners“ kopiert werden (copy and paste). Bei Funktionen wird der linke Teil incl. Gleichheitszeichen ignoriert. (Hinweis: Die Pfeile dienen auch als Links!) 1. Übersicht - komplexe Rechnung: Kurze Wiederholung einiger (benötigten) Grundlagen der komplexen Rechnung. 2. Beispiele - Kondensator und Spule: Eigenschaften und Vergleich der idealen und der realen komplexen Bauelemente Kondensator und Spule. Zur Darstellung und zum Vergleich der Kennlinien werden die mathematischen Widerstandsfunktionen und Phasengänge ermittelt. 3. Beispiel Reihenschwingkreis: Ermittlungen der komplexen idealen und realen Widerstandsfunktionen incl. der Funktionen für die Phasengänge. Ein Vergleich erfolgt mittels der geplotteten Kennlinien. Die Bezeichnung „Saugkreis“ lässt sich hier gut erläutern. 4. Beispiel Parallelschwingkreis:  Ermittlungen der komplexen idealen und realen Widerstandsfunktionen incl. der Funktionen für die Phasengänge. Ein Vergleich erfolgt mittels der geplotteten Kennlinien. Die Bezeichnung „Sperrkreis“ lässt sich hier gut erläutern. 5. Beispiel Reihen- und Parallelschwingkreise: Ideale und reale Reihen- und Parallelschwingkreise werden hinsichtlich ihrer Kennlinien bzw. Kurven gegenüber gestellt. 6. Beispiele Spannungsüberhöhungen:  Die Eigenschaft der Spannungsüberhöhung am Reihenschwingkreis kann, wenn sie nicht bewusst gewollt ist, zu erheblichen Problemen führen. Anhand der erstellten komplexen Verältnisfunktion U e / U a (Übertragungsfunktion) wird hier für U a eine um das 600-fache größere Spannung hinsichtlich der Eingangs- spannung U e dokumentiert. 7. Beispiel: Tief- und Hochpass Im Gegensatz zu einfachen RC bzw. RL Filter (Filter 1ter Ordnung) werden hier Filter betrachtet, die aus Schwingkreise bestehen. Auch hier werden die Übertragungs- funktionen incl. der Phasengangfunktionen erstellt und grafisch ausgewertet. 8. Beispiel: LC - Bandsperre Im klassischen Ansatz erfolgt auch hier die formale Erstellung der schon aufwen- digen Übertragungsfunktion. Auch hier kann das Verhalten der Bandsperre anhand von wechselnden Parametern erforscht werden. 9. Beispiel: LC - Bandspass In Analogie zur Bandpasssperre werden hier die Funktionsgleichungen erstellt und mit unterschiedlichen Parameterwerten dargestellt. 10. LC - Bandpass - Phasengang Durch die Analyse der Funktionsgraphen der rein reellen Funktion x → Re(Z übert (x)) sowie der rein imaginären Funktion x → Im(Z übert (x)) der Bandpassübertragungs- funktion x → Z übert (x) = Re(Z übert (x)) + Im(Z übert (x)) werden die Zeigerposition jeweils den vier Quadranten zugeordnet. Das Problem der Phasengangfunktion kann hier einsichtlich erläutert werden. 11. Exponentialform: Beispiel LC - Bandpass Die formale Berechnung der Übertragungsfunktion durch die ausschließliche Verwendung der Algebraische Form führt zu einem hohen Rechenaufwand. Hier wird der Vorteil der zusätzlichen Verwendung der Exponentialform gezeigt, die relativ schnell und einfach zum Ergebnis führt.
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Grundsätzlich gibt es keine verlustfreien (passive) Bauelemente. Da die Rechnungen mit realen Bauelementen oft sehr aufwendig und in dieser Form nicht immer notwendig sind, ist von Fall zu Fall zu entscheiden, ob nicht eine Rechnung mit idealen (verlustfreien) Bauteilen ausreichende Ergebnisse liefern. Exemplarisch ist hier eine Ersatzschaltung für einen realen Kondensator dargestellt. Eine derartige Betrachtung ist wohl eher in der Hochfrequenztechnik ((Ultra High Frequency, Super High Frequency) von Bedeutung. R isol : Isolationswiderstand R ESR : ohmschen Anteile (z. B. Drähte, Kontakte usw.) R leak : Reststrom (z. B. Elko) L ESL : Induktivität (z. B. Wickelkondensator) Induktive Widerstände können in vielen Fällen vereinfacht als Reihenschaltung einer idealen Spule und einem ohmschen Widerstand (Drahtwiderstände usw.) dargestellt werden. R L = Ohmscher Widerstand der Wicklungen usw. X L = Induktiver Widerstand (Blindwiderstand) Ideale Spulen besitzen nur den Blindwiderstand X L . Der Realteil ist gleich 0. Variable x = f, Parameter L = L [H] |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( 2*Pi*x*L )^2]}^0,5 φ(x) = 90° (reiner induktiver Widerstand; Realteil ist 0) Reale Spulen besitzen besonders in der Hochfrequenztechnik zusätzlich zum eigentlichen induktiven Widerstand weiter Größen wie Eisenverluste, Drahtverluste, Parallelkapazitäten usw. Im Normalfall reicht es aus, die ohmschen Widerstände in R L zusammen zu fassen. Variable x = f, Parameter R = R L [Ω]; L = L [H]; |Z(x)| = {[( R )^2] + [( 2*Pi*x*L )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( 2*Pi*x*L ) / ( R ) ] (Winkeleinstellung: Altgrad) Verwendete Werte: R = 200 Ω, L = 10 mH (10e-3 H ); Der Einfluss des ohmschen Spulenwiderstandes (grün, magenta) ist deutlich erkennbar. Im Gegensatz zur idealen Spule (rot, R=0) verläuft die Widerstandskurve bei der realen Spule (R>0) speziell im unteren Frequenzbereich nicht linear. Sie nähert sich asymptotisch der Widerstands- geraden der idealen Spule. Dieses Verhalten ist auch dem Phasengang zu entnehmen. Kapazitive Widerstände können in vielen Fällen vereinfacht als Parallelschaltung eines idealen Kondensators und einem ohmschen Widerstand dargestellt werden. R C = Ohmscher Widerstand (Leckwiderstand usw.) X C = Kapazitiver Widerstand (Blindwiderstand) Ideale Kondensatoren besitzen nur den Blindwiderstand X C (der parallele Widerstand ist unendlich groß; R c ). Der Realteil ist gleich 0. Variable x = f, Parameter C = C [F] Real- und Imaginärteile (grau) eingesetzt in die Formelgerüste für Z und φ führt zu den direkt durch kopieren einsetzbaren Funktionen (Formeln): |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( -1 / (2*Pi*x*C) )^2]}^0,5 φ(x) = - 90° (reiner kapazitiver Widerstand; Realteil ist 0) Reale Kondensatoren besitzen besonders in der Hochfrequentechnik zusätzlich zum eigentlichen kapazitiven Widerstand weiter Einflussgrößen, siehe Beispiel oben. Im Normalfall reicht es aus, die ohmschen Widerstände als Parallelwiderstand R C zusammen zu fassen. Für Parallelschaltungen gilt: Y ges = Y 1 + Y 2 + Y 3 + … + Y n und als Ergebnis: Empfehlung: Der Übersicht halber sollten R als Spulenreihen- und W als Kondensatoparallel- widerstand verwendet werden. Variable x = f, Parameter W = R [Ω]; C = C [F] Real- und Imaginärteile eingesetzt in die Formelgerüste für Z und φ. Dieses führt zu direkt kopierbaren und in den Kleinen Rechner einsetzbaren Funktionen (Formeln): |Z(x)| = {[( W / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) )^2] + [( { - (W^2*C*2*Pi*X ) / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) } )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( { - (W^2*C*2*Pi*X ) / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) } ) / ( W / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) ) ] Verwendete Werte: R = 200 Ω, C = 100 nF (100E-9 F ); Der Einfluss des ohmschen Verlustwiderstandes (grün, Magenta) ist auch hier deutlich erkennbar. Der parallele Widerstand R C begrenzt den maximalen Widerstand Z C des Kondensators. Verwendete Werte: R = 200 Ω, C = 100 nF (100E-9 F ), L = 10 mH (10e-3 H ); Bitte beachten Sie, dass die Kurven die jeweiligen Scheinwiderstände |Z L (f)| und |Z C (f)| abbilden. Nur die rote und grüne Kurven repräsentieren die Bildwiderstände |X L | und |X C |.
Leitwert:    Scheinwiderstand:     konjugiert komplex erweitert:
Verlustfreie und verlustbehaftete Kondensatoren:
Verlustfreie und verlustbehaftete Kondensatoren:
Realteil 	= W / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2)          Imaginärteil	= { - (W^2*C*2*Pi*X ) / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) }
Realteil 	= R          Imaginärteil	= 2*Pi*x*L
Realteil 	= 0          Imaginärteil	= 2*Pi*x*L
Beispiele: Kondensator u. Spule
Beispiele: Kondensator u. Spule
Widerstandskurven und Phasengänge: Widerstandskurven und Phasengänge:
Verlustfreie und verlustbehaftete Spule:
Verlustfreie und verlustbehaftete Spule:
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Kurze Wiederholung einiger Grundlagen der komplexen Rechnung.
Kurze Wiederholung einiger Grundlagen der komplexen Rechnung.
Komplexe Rechnung
Komplexe Rechnung
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Die Erweiterung der reellen Zahlen mit die Menge der imaginären Zahlen führt zur Menge der komplexen Zahlen. Der reelle Term b wird als Imaginärteil bezeichnet, i als Imaginäre Einheit. Aufgrund der Verwechselungsgefahr wird in der Elektrotechnik statt i der Buchstabe j verwendet. Darstellungsformen: 1. Algebraische Form (arithm., kartesische): Z = a + ib 2. Goniometrische Form: Z = r(cos(φ)+isin(φ)) 3. Polarform, Exponentialform : Z = re Es gilt: r = |Z| a = Re( Z ) = r cos(φ); b = Im( Z ) = r sin( φ ) φ = arctan( b / a ); φ = arctan( Im{ Z } / Re{ Z } ) Hinweis: Für den Wertebereich der Umkehrfunktion arctan(x) gilt: φ ∈ ] -90°; 90°[ Komplexen Größen, die einen Real- und einen Imaginärteil beinhalten, werden normalerweise unterstrichen. Komplexe Zahlen in der kartesischen Form Komplexe Zahlen in der Polarform oder Exponentialdarstellung Als klassische passive Grundelemente der Elektrotechnik sind hier sicherlich Widerstände, Spulen und Kondensatoren zu nennen. Mathematisch können diese durch komplexe Ausdrücke Für vereinfachte Formelerstellung hinsichtlich der Darstellungen von Widerstandskurven |Z(f)|, Übertragungskurven |G(f)|, Frequenzgänge φ(f) usw. sind die nachfolgenden Formelgerüste verwendbar. Anmerkung: Die Tangenzfunktion [ φ → tan(φ) ] hat an der Stelle φ = 90° einen Polsprung. Falls ein Realteil nicht existiert, der Realteil = 0 (Re=0), ersetzen Sie Re durch einen sehr kleinen positiven Wert, z: B.: arctan(  Im  /  1E-20 ) ! Im Formelgerüst können die Platzhalter Re und Im durch die Real- und Imaginärteile komplexer Widerstandsfunktion, Übertragungsfunktion, Frequenzgangfunktionen usw. ersetzt werden. Die so ergänzten Formeln können direkt kopiert und in eines der vier Eingabefelder (f 1 .. f 4 ) eingefügt werden. Achtung: Für die Ausgaben der Frequenzgangkurven sollte der Rechner sich im Modus „Gradmaß 360°“ befinden (Hautmaske)! Der komplexe Gesamtwiderstand der Reihenschaltung ist gleich der Summe der komplexen Einzelwiderstände. Der komplexe Gesamtleitwert der Parallelschaltung ist gleich der Summe der komplexen Einzelleitwerte. mit Y = Z -1 , G = Re Y und B = Im Y also Y = G + jB
Die Polarform (oder Exponentialdarstellung)    Multiplikation und Division:
Def.: Es existieren komplexe Zahlen Zn = an+ibn  mit  i2 = -1 (bzw. j2 = -1)   Mit  Z1 = a + i b  und   Z2 = x + i y  gilt:  1) Z1 + Z2 	= ( a + i b ) + ( x + i y )	=  ( a+x ) + i( b + y)  2) Z1 * Z2 	= ( a+ i b ) * ( x + i y )	=   ax + iya + ibx + i2 by  		=  ( ax – by ) + i(ay + bx)  3) Division: Konjugiert komplex erweitern     4) Länge des Vektors Z - absoluter Betrag |Z|
Beispiel: Parallelschwingkreis
Beispiel: Parallelschwingkreis
Beispiel: Reihenschwingkreis
Beispiel: Reihenschwingkreis
Anmerkung: Alle Verlustwiderstände sind in R V subsumiert. R V = Ohmscher Widerstand (enthält alle ohmschen Verluste) X L = Induktiver Widerstand (Blindwiderstand) X C = Kapazitiver Widerstand (Blindwiderstand) Im verlustfreien Parallelschwingkreis fehlt der Widerstand R V bzw. strebt er gegen Unendlich. Variable x = f, Parameter L = L [H]; C = C [F] |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( { 2*Pi*x*L / ( 1 - (2*Pi*x)^2 *L*C) } )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L / ( 1 - (2*Pi*x)^2 *L*C) } ) / ( 1e-20 ) ] (mit Re ≠ 0; Division durch 0 -> 1e-20 ≈ 0) (da der Wert eines potentiellen Widerstandes immer ≥ 0 ist, reicht hier der Wert 1e-20 ≈ 0 (x r - für rechtsseitigen Grenzwert) aus.) Im verlustbehafteten Parallelschwingkreis ist der Widerstand (Leckwiderstand usw.) R V > 0. Variable x = f, Parameter W = R V [Ω]; L = L [H]; C = C [F] |Z(x)| = {[( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] + [( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) / ( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) ] (mit Re ≠ 0; Winkeleinstellung: Altgrad 360°) Verwendete Werte: W = 1000 Ω (grün, magenta), L = 10 mH (10e-3 H ), C = 100 nF (100e-9 F);
Leitwert: Idealer Parallelschwingkreis: Realteil 	=  {  [ 1 / W ]   /   [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L)  }^2  ]  }  Imaginärteil	=  {  [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ]   /   [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L)  }^2  ]  }
Komplexer Leitwert:
Widerstand Z ges konjugiert komplex erweitert
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Beispiele für den Funktionenrechner (5) Beispiele für den Funktionenrechner (5)
Elektrotechnik
Elektrotechnik
Komplexe Bauelemente in der Elektrotechnik
Komplexe Bauelemente in der Elektrotechnik
Einige Grundrechenregeln:
Einige Grundrechenregeln:
Ohmscher Widerstand R
Ideale Spule
Idealer Kondensator
Der imaginäre Teil ist gleich 0 Z = R + j0 Z = R
Der reale Teil ist gleich 0 Z = 0 + jX L Z = jωL
Der reale Teil ist gleich 0 Z = 0 + jX C Z = (-j)/(ωC)
C
R ESR
L ESL
R isol , R leak
Reihen und Parallelschaltungen von passiven Bauelementen
Reihen und Parallelschaltungen von passiven Bauelementen
Reihenschaltung:
Reihenschaltung:
Zges = Z1 + Z2 + Z3 + …. + Zn
Parallelschaltung:
Parallelschaltung:
Yges = Y1 + Y2 + Y3 + …. + Yn
R L
X L
Ideale (verlustfreie) Spulen:
Ideale (verlustfreie) Spulen:
Reale (verlustbehaftete) Spulen:
Reale (verlustbehaftete) Spulen:
Z L = jX L Z L = j ωL ↔ Z L = j 2πf L
Z L = R L + jX L Z L = R L + j ωL ↔ Z L = R L + j 2πf L
Ideale (verlustfreie) Kondensatoren:
Ideale (verlustfreie) Kondensatoren:
R C
X C
Reale (verlustbehaftete) Kondensatoren:
Reale (verlustbehaftete) Kondensatoren:
Vergleich: Idealer Kondensator (rot, Phasengang blau) und realer Kondensator (grün, Phasengang magenta)
Gegenüberstellung: Spule und Kondesator:
Gegenüberstellung: Spule und Kondesator:
R L
X L
X C
Anmerkung: Alle Verlustwiderstände der Spule sind in R L subsumiert. R L = Ohmscher Widerstand der Wicklungen usw. X L = Induktiver Widerstand (Blindwiderstand) X C = Kapazitiver Widerstand (Blindwiderstand) Im verlustfreien Reihenschwingkreis ist der Widerstand R L = 0 Variable x = f, Parameter L = L [H]; C = C [F] |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } ) / ( 1e-20 ) ] (mit Realteil ≠ 0) (da der Wert eines potentiellen Widerstandes immer ≥ 0 ist, reicht hier der Wert 1e-20 ≈ 0 (x 0r - für rechtsseitigen Grenzwert) aus.) Im verlustbehafteten Reihenschwingkreis ist der Widerstand R L > 0 Variable x = f, Parameter R = R L [Ω]; L = L [H]; C = C [F] |Z(x)| = {[( R )^2] + [( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } ) / ( R ) ] (mit Realteil ≠ 0) Verwendete Werte: R = 200 Ω (grün, magenta), L = 10 mH (10e-3 H ), C = 100 nF (100e-9 F); Der Einfluss des ohmschen Verlustwiderstandes (grün, magenta) ist auch hier deutlich erkennbar. Der minimale Widerstand wird hier durch R L begrenzt.
Realteil 	=  R;    Imaginärteil	=  { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C)  }
Realteil 	=  0;    Imaginärteil	=  { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C)  }
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Realer (verlustbehafteter) Reihenschwingkreis:
Realer (verlustbehafteter) Reihenschwingkreis:
Idealer (verlustfreier) Reihenschwingkreis:
Idealer (verlustfreier) Reihenschwingkreis:
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Vergleich:    ideal: Spule (rot), Kondensator (grün) - real:  Spule (blau), Kondensator (magenta)
**  Vergleich: Ideale Spule (rot, Phasengang blau) und reale Spule (grün, Phasengang magenta)  **
Vergleich Reihenschwingkreise:    ideal (rot, Phasengang blau)      real:  (grün, Phaseng. magenta)
Anwendungsbereich: Filterschaltungen Anwendungsbereich: Filterschaltungen XL RV XC
Idealer (verlustfreier) Parallelschwingkreis:
Idealer (verlustfreier) Parallelschwingkreis:
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
X L
X C
Realer (verlustbehafteter) Parallelschwingkreis:
Realer (verlustbehafteter) Parallelschwingkreis:
R L
X L
X C
X C
R C
X C
X L
R V
X C
Formelumsetzung - Erstellung
Formelumsetzung - Erstellung
Vergleich Parallelschwingkreise:    ideal (rot, Phasengang blau)      real:  (grün, Phaseng. magenta)
Reihen- und Parallelschwingkreise
Reihen- und Parallelschwingkreise
Variable x = f, Parameter R = R L [Ω]; L = L [H]; C = C [F] |Z Reihe (x)| = {[( R )^2] + [( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2]}^0,5 φ Reihe (x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } ) / ( R ) ] (mit Re ≠ 0) Variable x = f, Parameter W = R V [Ω]; L = L [H]; C = C [F] |Z Parallel (x)| = {[( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] + [( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2]}^0,5 φ Parallel (x) = arctan[ ( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) / ( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) ] (mit Re ≠ 0) Werte: R Spule = 50 Ω, W Kondensator = 1000 Ω, L = 10 mH (10e-3 H ), C = 100 nF (100e-9 F); Zur zusammenhängenden Übersicht werden vier Funktionsgleichungen mit eigenen Widerstandsparametern (R, W, U und V) erstellt (Modifikation). Reihenschwingkreis f 1 (R) und Parallelschwingkreis f 2 (W): |Z Reihe_1 (X)| = { [ ( R )^2 ] + [ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2 ] }^0,5 |Z Parallel_2 (X)| = { [ ( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] + [ ( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] }^0,5 Reihenschwingkreis f 3 (U) und Parallelschwingkreis f 4 (V): |Z Reihe_3 (X)| = { [ ( U )^2 ] + [ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2 ] }^0,5 |Z Parallel_4 (X)| = { [ ( { [ 1 / V ] / [ 1/V^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] + [ ( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/V^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] }^0,5 Werte: R Spule = 0 Ω, W Kondensator = 1E15 Ω, L = 10 mH (10e-3 H ), C = 100 nF (100e-9 F); U Spule = 200 Ω, V Kondensator = 1000 Ω, L = 10 mH (10e-3 H ), C = 100 nF (100e-9 F); Durch die Werte R=0 (Reihenschwingkreis) und W=1e-15 (Parallelschwingkreis, W≠0; 1e-15 ist fast 0) werden ideale Schwingkreise simuliert. Im Resonanzbereich (ca. 5033 Hz) ist der ideale Reihenschwingkreis widerstandslos. Als realer Schwingkreis (grün) wird hier sein Gesamtwiderstand nur durch den ohmschen Widerstand repräsentiert (R=200 Ω) (Saugkreis). Der ideale Parallelschwingkreis zeigt im Resonanzfall einen gegen Unendlich strebenden Gesamtwiderstand. Als realer Schwingkreis wird hier der maximale Widerstand durch den ohmschen Parallelwiderstand begrenzt (Sperrkreis).
Anwendungsbereich: Gegenüberstellungen Anwendungsbereich: Gegenüberstellungen
Realer (verlustbehafteter) Parallelschwingkreis:
Realer (verlustbehafteter) Parallelschwingkreis:
X L
R V
X C
Schwingkreise: Gegenüberstellungen
Schwingkreise: Gegenüberstellungen
Vergleich:   Reihen- (rot, Phasengang blau)  u.  Parallelschwingkreis  (grün, Phasengang magenta)
Realer (verlustbehafteter) Reihenschwingkreis:
Realer (verlustbehafteter) Reihenschwingkreis:
R L
X L
X C
Exemplarische Beispiele:
Exemplarische Beispiele:
Beispieleverzeichnis (5):
Beispieleverzeichnis (5):
X L
X C
Beispiel: Spannungsüberhöhungen
Beispiel: Spannungsüberhöhungen
Von Spannungsüberhöhungen spricht man, wenn im Reihenschwingkreis die Blindspannungen U C und U L höher sind als die Eingangsspannung U e . Diese an sich gefährliche Eigenschaft kann auch erwünscht sein, zum Beispiel um in batteriebetriebenen Schaltungen wesentlich höhere Spannungen abgreifen zu können. Anmerkung: Die real existierenden Spannungen U C und U L sind gegenseitig um 180° phasen- verschoben. In der Summe heben sie sich folglich gegenseitig auf. Da im Resonanzfall die komplexen Widerstände sich gegensätzlich aufheben, wird der Stom nur noch durch den ohmschen Widerstand begrenzt. Die an den komplexen Widerständen X C und X L abfallenden Spannungen haben dann den höchsten Wert. Auch im komplexen Bereich gilt das 2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel) ∑ U = 0 Exemplarisch wird hier der Spannungsverlauf U L an der Spule in Abhängigkeit der Frequenz ermittelt. In einer Reihenschaltung ist der fließende Strom in allen Widerständen gleich. Formel in Real- und Imaginärteil splitten: Variable x = f (ω = 2��f), Parameter L = L [H]; C = C [F]; R = R [Ω] Nenner = [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] Re(Zähler) = [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] Im(Zähler) = [ R/(2*Pi*x*L) ] |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ R/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( [ R/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] ) / ( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] ) ] Der Spannungüberhöhungsfaktor ist vom Widerstand R abhängig. Zum Vergleich sollen hier noch drei weitere Kurven mit unterschiedlichen Widerstandswerten dargestellt werden. Hierfür werden für R die weiteren Parameter U, V und W verwendet. Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { U/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ U/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { U/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { V/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ V/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { V/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { W/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ W/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { W/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 Die Spannungswerte an der Spule sind bis ca. 4,5 kHz unauffällig, ändern sich dann aber extrem. Verwendete Werte: L = 10 mH (10e-3 H ); C = 100 nF (100e-9 F); Parameter R: R = 0,5 Ω (rot); R = 1 Ω (blau); R = 2 Ω (grün); R = 5 Ω (magenta) Wie die rote Kurve zeigt, liegen im Resonanzfall an der Spule (und um 180° verschoben ebenfalls am Kondensator) mehr als die 600-fache Eingangspannung an, vorausgesetzt, dass die Spannungsquelle den hierfür notwendigen Strom liefern kann (Gesamtwiderstand dieses Reihen- schwingkreises im Resonanzfall = 0,5 Ω). Hinweis: Siehe hierzu auch den nachfolgenden Abschnitt „Beispiel: Tief- und Hochpass“
anschließend konjuguiert komplex erweitern
Formelumsetzungen für Plotausgaben
Formelumsetzungen für Plotausgaben
Realer (verlustbehafteter) Reihenschwingkreis:
Realer (verlustbehafteter) Reihenschwingkreis:
Spannungsverhältnisse im Reihenschwingkreis:
Spannungsverhältnisse im Reihenschwingkreis:
Realteil = [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] Imaginärteil = [ R/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ]
Spannungüberhöhungsfaktorkurven in Abhängig von der Frequenz
Spannungsüberhöhungen:
Spannungsüberhöhungen:
Ansatz:
Ansatz:
Formelerstellung:
Formelerstellung:
U C + U R + U L - U e = 0 ⇒ U e = U C + U R + U L
U C
U L
U R
U e
X C
X L
R
I
Berechnungen:
Berechnungen:
Übersicht - Frequenzbereich von 0 - 10 kHz:
Übersicht - Frequenzbereich von 0 - 10 kHz:
Teildarstellung - Frequenzbereich von 5000 - 5070 Hz:
Teildarstellung - Frequenzbereich von 5000 - 5070 Hz:
***  Spannungüberhöhungsfaktorkurven - Resonanzfrequenz = 5033 Hz  ***
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Akt. Modianzeige
|Z(x)| = {[( Re )^2] + [( Im )^2]}^0,5
Formelgerüst: Vektorlänge |Z(x)| Formelgerüst: Vektorlänge |Z(x)|
Phasenwinkel   90° < φ(x) < -90°  Phasenwinkel   90° < φ(x) < -90°
φ(x) = arctan[ ( Im ) / ( Re ) ] (mit Re ≠ 0)
Anwendungsbereich: Filterschaltungen Anwendungsbereich: Filterschaltungen Anwendungsbereich: Gegenüberstellungen Anwendungsbereich: Gegenüberstellungen Realteil 	= 0          Imaginärteil	= -1 / (2*Pi*x*C) Realteil 	= 0          Imaginärteil	= { 2*Pi*x*L  /  ( 1 - (2*Pi*x)^2 *L*C)  }
Geometrische Darstellungen:
Geometrische Darstellungen:
Re Im b a φ Z b a
Die eingegebenen Funktionen f1 bis f4 und die verwendeten Parameterwerte
Ideal: Reihenschwingkr. (rot), Parallels. (blau)  ---  Real: Reihens. (grün), Parallels. (magenta)
Rechner für Funktionen  mit Variablen und Parametern.
Rechner für Funktionen  mit Variablen und Parametern.