Dieser Rechner für Funktionen ermöglicht es unter anderem, a. Wertetabellen zu erstellen, b. Funktionsgraphen zu plotten, c. Riemannsche Summen zu plotten bzw. bestimmte Integrale zu berechnen, d. Funktionsgraphen und die zugehörigen ersten drei Ableitungen grafisch auszugeben,  e. Listen zu generieren usw. Alle angeführten Beispiele können durch Kopieren und Einfügen (copy and paste) direkt im Bereich „Funktioneneingabe“ in die Eingabefelder f 1 bis f 4 übernommen werden. Die hier zu sehenden Screenshots der Plotausgaben sind zur besseren Wiedergabe (Skalierung der Screenshots) bewusst nicht im Modus „Vollbildschirm“ erstellt worden. Eine zusätzliche Druckausgabe der Ergebnisse ist immer möglich. Bitte beachten Sie, dass nicht nur bei Übertragungskurven gerne logarithmische Abzisseneinteilungen (halblogarithmische Darstellungen) benutzt werden. Die hier verwendeten Koordinatenteilungen sind linear. Die hier gezeigten exemplarischen Beispiele demonstrieren nicht nur den universellen Rechner- einsatz, sondern zeigen auch modifizierbare Lösungsstrategien im Umgang mit komplexen Schaltungen. Eingabehinweis: Ein Doppelklick im Eingabefenster löscht die akt. Eingabe. Winkelein- und Ausgaben können auf drei Arten erfolgen (Bogenmaß, Altgrad, Neugrad; siehe Hauptmaske „Taschenrechner“). Da in der Elektrotechnik in Verbindung mit Phasengängen usw. oft im „Altgrad- modus“ gerechnet wird, wählen Sie bitte in der Hauptmaske die Option Winkeleinstellung „Grad“! Um eine erstellte komplexe Formeln bezüglich der elektrischen Werte schnell variieren zu können, werden gerne Parameter (Platzhalter) innerhalb der Formeln verwendet. In Schaltungen werden z. B. oft mehrere Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten verwendet. Hier könnte es vorteilhaft sein, allgemein über eine (eigene) Verwendungsordnung nachzudenken. In den Beispielen werden meistens für ohmsche Widerstände R die Parameter „R“ und „W“ und bei Bedarf auch „U“ und „V“ , für elektrische Induktivitäten L die Parameter „L“ und „B“ und für elektrische Kapazitäten C die Parameter „C“ und „A“ verwendet. Beispiel: Verlustbehafteter Parallelschwingkreis: |Z Parallel (x)| = { [( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] + [( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] }^0,5 Zugehörige Beispielparameterliste: Empfehlung: Löschen Sie vor der Eingabe die Parameterliste (Doppelklick auf Mülltonne). Falls Sie dann einen Parameter vergessen (oder fehlerhaft eingegeben) haben, erscheint nach einer Plotausgabe in der Parameterliste ein Fehlerhinweis (????)! Hier wurde kein Parameter eingetragen! Angezeigt werden alle verwendeten Parameter. Falls mehrere Kurven mit großen unterschiedlichen Wertebereichen übersichtlich in einem Koordinatensystem dargestellt werden sollen, ist es oft notwendig, Kurven dementsprechend zu skalieren. Dieses gilt hier oft für den Phasengang φ(f) mit φ(f)∈[ -180°; 180° ], der dem Ausgabewertebereich Y ∈ [ -0,2; 1,2] angepasst werden soll. Hier ist eine Stauchung mit dem Faktor 0,001 notwendig. f: x→f = c * ( φ(x) ); mit c=0,001 gilt: f: x→f = 0,001 * ( φ(x) ) Fehlerquelle: gesamten Term klammern! Die verwendeten Frequenzbereiche liegen i. Allg. zwischen 0 Hz und 10 kHz. Sie werden jeweils im Definitionsbereich eingestellt. (Entnehmen Sie hier die aktuellen Werte aus den Plotdarstellungen.) Der Wertebereich kann jederzeit im Ausgabefenster in Echtzeit angepasst werden. (Entnehmen Sie hier die aktuellen Werte aus den Plotdarstellungen.) Die nachfolgenden Beispiele sollen die Möglichkeiten zeigen, auch komplexe technische Proble- matiken relativ einfach (ohne aufwendige Versuchsdurchführungen) nur mittels physikalischer Gesetzmäßigkeiten durch mathematisch erzeugten Kurven zu ergründen. Die notwendigen Termumwandlungen werden hier übersichtlich fast rein formal durchgeführt. Eine Optimierung ist nicht notwendig, da die Lösungsterme (in Abhängigkeit der Frequenz) vom „Kleinen Taschenrechner“ ausgewertet werden sollen und dieser hinsichtlich der Formellänge (praktisch) unbeschränkt ist. Zum Ansatz kommen komplexe Zahlen in ihrer kartesischen Darstellungform. Ein abschnittsweiser Wechsel zur Polarform kann den Rechnungsaufwand wesentlich verkürzen, insbesondere, wenn die Real- und Imaginärteile des komplexen Gesamtwiderstandes usw. bereits vorliegen bzw. berechnet worden sind. Dieses wird eindrucksvoll im Beispiel „Exponentialform: Beispiel LC - Bandpass“ erläutert. Die nachstehenden Beispiele eröffnen ein weites Feld zum Experimentieren mit modifizierten Parametern und Werten. Sie ermöglichen es, die Fragen nach den Zusammenhängen in diesen anspruchsvollen Bereichen der komplexen Bauelemente (inklusiv Phasenverschiebungen) zu erforschen, zu durchdringen und vorhandene Erkenntnisse zu festigen. Dieses wäre sonst nur mit aufwendigen und permanent zu modifizierenden Versuchsanordnungen möglich. Die in den Beispielen entwickelten Formeln und Funktionen können direkt in die Eingabebereiche des „Kleinen Rechners“ kopiert werden (copy and paste). Bei Funktionsgleichungen wird der linke Teil incl. Gleichheitszeichen ignoriert. (Hinweis: Die Pfeile dienen auch als Links!)  1. Übersicht - komplexe Rechnung: Kurze Wiederholung einiger Grundlagen der komplexen Rechnung. 2. Beispiele - Kondensator und Spule: Eigenschaften und Vergleich der idealen und der realen komplexen Bauelemente Kondensator und Spule. Zur Darstellung und zum Vergleich der Kennlinien werden die mathematischen Widerstandsfunktionen und Phasengänge ermittelt. 3. Beispiel Reihenschwingkreis: Ermittlungen der komplexen idealen und realen Widerstandsfunktionen incl. der Funktionen für die Phasengänge. Ein Vergleich erfolgt mittels der geplotteten Kennlinien. Die Bezeichnung „Saugkreis“ lässt sich hier gut erläutern. 4. Beispiel Parallelschwingkreis:  Ermittlungen der komplexen idealen und realen Widerstandsfunktionen incl. der Funktionen für die Phasengänge. Ein Vergleich erfolgt mittels der geplotteten Kennlinien. Die Bezeichnung „Sperrkreis“ lässt sich hier gut erläutern. 5. Beispiel Reihen- und Parallelschwingkreise: Ideale und reale Reihen- und Parallelschwingkreise werden hinsichtlich ihrer Kennlinien bzw. Kurven gegenüber gestellt. 6. Beispiele Spannungsüberhöhungen:  Die Eigenschaft der Spannungsüberhöhung am Reihenschwingkreis kann, wenn sie nicht bewusst gewollt ist, zu erheblichen Problemen führen. Anhand der erstellten komplexen Verältnisfunktion U e / U a (Übertragungsfunktion) wird hier für U a eine um das 600-fache größere Spannung hinsichtlich der Eingangs- spannung U e dokumentiert. 7. Beispiel: Tief- und Hochpass Im Gegensatz zu einfachen RC bzw. RL Filter (Filter 1ter Ordnung) werden hier Filter betrachtet, die aus Schwingkreise bestehen. Auch hier werden die Übertragungs- funktionen incl. der Phasengangfunktionen erstellt und grafisch ausgewertet. 8. Beispiel: LC - Bandsperre Im klassischen Ansatz erfolgt auch hier die formale Erstellung der schon aufwen- digen Übertragungsfunktion. Auch hier kann das Verhalten der Bandsperre anhand von wechselnden Parametern erforscht werden. 9. Beispiel: LC - Bandspass In Analogie zur Bandpasssperre werden hier die Funktionsgleichungen erstellt und mit unterschiedlichen Parameterwerten dargestellt. 10. Exponentialform: Beispiel LC - Bandpass Die formale Berechnung der Übertragungsfunktion durch die ausschließliche Verwendung der algebraischen Form führt zu einem hohen Rechenaufwand. Hier wird der Vorteil der zusätzlichen Verwendung der Exponentialform gezeigt, die relativ schnell und einfache zum Ergebnis führen kann.

Grundsätzlich gibt es keine verlustfreien (passive) Bauelemente. Da die Rechnungen mit realen Bauelementen oft sehr aufwendig und in dieser Form nicht immer notwendig sind, ist von Fall zu Fall zu entscheiden, ob nicht eine Rechnung mit idealen (verlustfreien) Bauteilen ausreichende Ergebnisse liefern. Exemplarisch ist hier eine Ersatzschaltung für einen realen Kondensator dargestellt. Eine derartige Betrachtung ist wohl eher in der Hochfrequenztechnik ((Ultra High Frequency, Super High Frequency) von Bedeutung. R isol : Isolationswiderstand R ESR : ohmschen Anteile (z. B. Drähte, Kontakte usw.) R leak : Reststrom (z. B. Elko) L ESL : Induktivität (z. B. Wickelkondensator) Induktive Widerstände können in vielen Fällen vereinfacht als Reihenschaltung einer idealen Spule und einem ohmschen Widerstand (Drahtwiderstände usw.) dargestellt werden. R L = Ohmscher Widerstand der Wicklungen usw. X L = Induktiver Widerstand (Blindwiderstand) Ideale Spulen besitzen nur den Blindwiderstand X L . Der Realteil ist gleich 0. Variable x = f, Parameter L = L [H] f 1 : |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( 2*Pi*x*L )^2]}^0,5 f 2 : φ(x) = 90° (reiner induktiver Widerstand; Realteil ist 0)f 1 : Reale Spulen besitzen besonders in der Hochfrequenztechnik zusätzlich zum eigentlichen induktiven Widerstand weiter Größen wie Eisenverluste, Drahtverluste, Parallelkapazitäten usw. Im Normalfall reicht es aus, die ohmschen Widerstände in R L zusammen zu fassen. Variable x = f, Parameter R = R L [Ω]; L = L [H]; f 3 : |Z(x)| = {[( R )^2] + [( 2*Pi*x*L )^2]}^0,5 f 4 : φ(x) = arctan[ ( 2*Pi*x*L ) / ( R ) ] (Winkeleinstellung: Altgrad (360°)) Verwendete Werte: R = 200 Ω → R = 200, X L : L= 10 mH (10e-3 H ) → L = 10e-3; Winkelmodus: Gradmaß (360°) Der Einfluss des ohmschen Spulenwiderstandes (grün, magenta) ist deutlich erkennbar. Im Gegensatz zur idealen Spule (rot, R=0) verläuft die Widerstandskurve bei der realen Spule (R>0) speziell im unteren Frequenzbereich nicht linear. Sie nähert sich asymptotisch der Widerstands- geraden der idealen Spule. Dieses Verhalten ist auch dem Phasengang zu entnehmen. Kapazitive Widerstände können in vielen Fällen vereinfacht als Parallelschaltung eines idealen Kondensators und einem ohmschen Widerstand dargestellt werden. R C = Ohmscher Widerstand (Leckwiderstand usw.) X C = Kapazitiver Widerstand (Blindwiderstand) Ideale Kondensatoren besitzen nur den Blindwiderstand X C (der parallele Widerstand ist unendlich groß; R c → ∞). Der Realteil ist gleich 0. Variable x = f, Parameter C = C [F] Real- und Imaginärteile (grau) eingesetzt in die Formelgerüste für Z und φ führt zu den direkt durch kopieren einsetzbaren Funktionen (Formeln): f 1 : |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( -1 / (2*Pi*x*C) )^2]}^0,5 f 2 : φ(x) = - 90° (reiner kapazitiver Widerstand; Realteil ist 0) Reale Kondensatoren besitzen besonders in der Hochfrequentechnik zusätzlich zum eigentlichen kapazitiven Widerstand weiter Einflussgrößen, siehe Beispiel oben. Im Normalfall reicht es aus, die ohmschen Widerstände als Parallelwiderstand R C zusammen zu fassen. Für Parallelschaltungen gilt: Y ges = Y 1 + Y 2 + Y 3 + … + Y n und als Ergebnis: Empfehlung: Der Übersicht halber sollten R als Spulenreihen- und W als Kondensatoparallel- widerstand verwendet werden. Variable x = f, Parameter W = R [Ω]; C = C [F] Real- und Imaginärteile eingesetzt in die Formelgerüste für Z und φ. Dieses führt zu direkt kopierbaren und in den Kleinen Rechner einsetzbaren Funktionen (Formeln): f 3 : |Z(x)| = {[( W / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) )^2] + [( { - (W^2*C*2*Pi*X ) / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) } )^2]}^0,5 f 4 : φ(x) = arctan[ ( { - (W^2*C*2*Pi*X ) / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) } ) / ( W / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) ) ] Verwendete Werte: R C = 1000 Ω → W=1000; X C : C = 100 nF (100E-9 F ) → C = 100E-9; Winkelmodus: „Gradmaß (360°)“ ! Der Einfluss des ohmschen Verlustwiderstandes (grün, Magenta) ist auch hier deutlich erkennbar. Der parallele Widerstand R C begrenzt den maximalen Widerstand Z C des Kondensators. In den Formeln verwendete Parameter: W, C, R, L Verwendete Werte: R C = 1000 Ω → Parameter W = 1000; X C : C = 100 nF (100E-9 F ) → C = 100E-9 , R L = 200 Ω → Parameter R = 200; X L : L = 10 mH (10e-3 H ) → L = 10E-3 ; Verwendete Formeln: siehe oben Indeale Spule: f 1 : |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( 2*Pi*x*L )^2]}^0,5 Reale Spule: f 2 : |Z(x)| = {[( R )^2] + [( 2*Pi*x*L )^2]}^0,5 Idealer Kondensator: f 3 : |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( -1 / (2*Pi*x*C) )^2]}^0,5 Realer Kondensator: f 4 : |Z(x)| = {[( W / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) )^2] + [( { - (W^2*C*2*Pi*X ) / ( 1 + (W*C*2*Pi*X)^2) } )^2]}^0,5 Bitte beachten Sie, dass die Kurven die jeweiligen Scheinwiderstände |Z L (f)| und |Z C (f)| abbilden. Nur die rote und grüne Kurven repräsentieren die Bildwiderstände |X L | und |X C |.

Anmerkung: Alle Verlustwiderstände der Spule sind in R L subsumiert. R L = Ohmscher Widerstand der Wicklungen usw. X L = Induktiver Widerstand (Blindwiderstand) X C = Kapazitiver Widerstand (Blindwiderstand) Im verlustfreien Reihenschwingkreis ist der Widerstand R L = 0 Variable x = f, Parameter L = L [H]; C = C [F] f 1 : |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2]}^0,5 f 2 : φ(x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } ) / ( 1e-20 ) ] (mit Realteil ≠ 0) (da der Wert eines potentiellen Widerstandes immer ≥ 0 ist, reicht hier der Wert 1e-20 ≈ 0 (x 0r - für rechtsseitigen Grenzwert) aus.) Im verlustbehafteten Reihenschwingkreis ist der Widerstand R L > 0 Variable x = f, Parameter R = R L [Ω]; L = L [H]; C = C [F] f 3 : |Z(x)| = {[( R )^2] + [( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2]}^0,5 f 4 : φ(x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } ) / ( R ) ] (mit Realteil ≠ 0) In den Formeln verwendete Parameter: C, R, L Werte: R gm = 200 Ω (grün, magenta) → R=200; X L : L = 10 mH → L=10E-3; X C : C = 100 nF → C = 100e-9; Winkelmodus: Gradmaß (360°) Der Einfluss des ohmschen Verlustwiderstandes (grün, magenta) ist auch hier deutlich erkennbar. Der minimale Widerstand wird hier durch R L begrenzt.

Anmerkung: Alle Verlustwiderstände sind in R V subsumiert. R V = Ohmscher Widerstand (enthält alle ohmschen Verluste) X L = Induktiver Widerstand (Blindwiderstand) X C = Kapazitiver Widerstand (Blindwiderstand) Im verlustfreien Parallelschwingkreis fehlt der Widerstand R V bzw. strebt er gegen Unendlich. Variable x = f, Parameter L = L [H]; C = C [F] f 1 : |Z(x)| = {[( 0 )^2] + [( { 2*Pi*x*L / ( 1 - (2*Pi*x)^2 *L*C) } )^2]}^0,5 f 2 : φ(x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L / ( 1 - (2*Pi*x)^2 *L*C) } ) / ( 1e-20 ) ] (mit Re ≠ 0; Division durch 0 -> 1e-20 ≈ 0) (da der Wert eines potentiellen Widerstandes immer ≥ 0 ist, reicht hier der Wert 1e-20 ≈ 0 (x r - für rechtsseitigen Grenzwert) aus.) Im verlustbehafteten Parallelschwingkreis ist der Widerstand (Leckwiderstand usw.) R V > 0. Variable x = f, Parameter W = R V [Ω]; L = L [H]; C = C [F] f 3 : |Z(x)| = {[( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] + [( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2]}^0,5 f 4 : φ(x) = arctan[ ( { [ 1 / (2* Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) / ( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) ] (mit Re ≠ 0; Winkeleinstellung: Altgrad 360°) Verwendete Parameter: W, L, C Werte: R V = 1000 Ω → W = 1000; X L : L= 10 mH (10e-3 H ) → L = 10e-3; X C : C = 100 nF (100e-9 F) → C = 100e-9;

Variable x = f, Parameter R = R L [Ω]; L = L [H]; C = C [F] f 1 : |Z(x)| = {[( R )^2] + [( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2]}^0,5 f 2 : φ(x) = arctan[ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } ) / ( R ) ] (mit Realteil ≠ 0) Variable x = f, Parameter W = R V [Ω]; L = L [H]; C = C [F] f 3 : |Z(x)| = {[( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2] + [( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2]}^0,5 f 4 : φ(x) = arctan[ ( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) / ( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } ) ] Verwendete Parameter: Spule: R, L; Kondensator: W, C; Winkelmodus: „Gradmaß (360°)“ Werte: X L : L = 10 mH → L = 10E-3; R L = 50 Ω → R = 50; X C : C = 100 nF → C = 100e-9; R V = 1000 Ω → W = 1000; Zur zusammenhängenden Übersicht werden vier Funktionsgleichungen aus den oben dargestell- ten Formeln für ideale und reale Schwingkreise mit Hilfe von Widerstandsparametern als Modi- fikationen erstellt. Reihenschwingkreis f 1 und f 3 : f 1 : |Z Reihe_1 (X)| = { [ ( R )^2 ] + [ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2 ] }^0,5 f 3 : |Z Reihe_3 (X)| = { [ ( U )^2 ] + [ ( { 2*Pi*x*L - 1/(2*Pi*x*C) } )^2 ] }^0,5 Parallelschwingkreis f 2 und f 4 : f 2 : |Z Parallel_2 (X)| = { [ ( { [ 1 / W ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] + [ ( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/W^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] }^0,5 f 4 : |Z Parallel_4 (X)| = { [ ( { [ 1 / V ] / [ 1/V^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] + [ ( { [ 1 / (2*Pi*x*L) - 2*Pi*x*C ] / [ 1/V^2 + { 2*Pi*x*C - 1/(2*Pi*x*L) }^2 ] } )^2 ] }^0,5 _______________ Werte für ideale Schwingkreise (f 1 u. f 2 ): R L = 0 Ω → R = 0; X L : L = 10 mH → L= 10E-3; R V ist sehr groß → W = 1E15; X C : C = 100 nF → C= 100E-9; Werte für reale Schwingkreise (f 3 u. f 4 ): R L = 200 Ω → U = 200; X L : L= 10 mH → L= 10E-3; R V = 1 kΩ → V = 1000; X C : C = 100 nF → C= 100E-9; Durch die Werte R=0 (Reihenschwingkreis) und W=1e15 (Parallelschwingkreis, W≠0; 1e15 ist ausreichend groß) werden ideale Schwingkreise simuliert. Im Resonanzbereich (ca. 5033 Hz) ist der ideale Reihenschwingkreis widerstandslos. Als realer Schwingkreis (grün) wird hier sein Gesamtwiderstand nur durch den ohmschen Widerstand repräsentiert (R=200 Ω) (Saugkreis). Der ideale Parallelschwingkreis zeigt im Resonanzfall einen gegen Unendlich strebenden Gesamtwiderstand. Als realer Schwingkreis wird hier der maximale Widerstand durch den ohmschen Parallelwiderstand begrenzt (Sperrkreis).

Von Spannungsüberhöhungen spricht man, wenn im Reihenschwingkreis die Blindspannungen U C und U L höher sind als die Eingangsspannung U e . Diese an sich gefährliche Eigenschaft kann auch erwünscht sein, zum Beispiel um in batteriebetriebenen Schaltungen wesentlich höhere Spannungen abgreifen zu können. Anmerkung: Die real existierenden Spannungen U C und U L sind gegenseitig um 180° phasen- verschoben. In der Summe heben sie sich folglich gegenseitig auf. Da im Resonanzfall die komplexen Widerstände sich gegensätzlich aufheben, wird der Stom nur noch durch den ohmschen Widerstand begrenzt. Die an den komplexen Widerständen X C und X L abfallenden Spannungen haben dann den höchsten Wert. Auch im komplexen Bereich gilt das 2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel) ∑ U = 0 Exemplarisch wird hier der Spannungsverlauf U L an der Spule in Abhängigkeit der Frequenz ermittelt. In einer Reihenschaltung ist der fließende Strom in allen Widerständen gleich. Formel in Real- und Imaginärteil splitten: Variable x = f (ω = 2ℼf), Parameter L = L [H]; C = C [F]; R = R [Ω] Nenner = [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] Re(Zähler) = [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] Im(Zähler) = [ R/(2*Pi*x*L) ] f 1 : |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ R/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 φ(x) = arctan[ ( [ R/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] ) / ( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { R/[2*Pi*x*L] }^2 ] ) ] Der Spannungüberhöhungsfaktor ist vom Widerstand R abhängig. Zum Vergleich sollen hier noch drei weitere Kurven mit unterschiedlichen Widerstandswerten dargestellt werden. Hierfür werden für R die weiteren Parameter U, V und W verwendet. Empfehlung: - Kopieren Sie die Terme f 1 bis f 4 in das jeweilige Eingabefeld, - löschen Sie alle Parameter (Doppelcklick auf Mülltonne), - starten Sie die Plotausgabe (Funktionen plotten) und - verlassen Sie anschließend das Plotfenster (Esc-Taste). Als Ergebnis werden die noch nicht festgelegten Parameter angezeigt (????)! f 2 : Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { U/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ U/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { U/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 f 3 : |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { V/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ V/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { V/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 f 4 : |Z(x)| = {[( [ 1-1/[(2*Pi*x)^2*C*L] ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { W/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2] + [( [ W/(2*Pi*x*L) ] / [ { 1-1/[ (2*Pi*x)^2*C*L ] }^2 + { W/[2*Pi*x*L] }^2 ] )^2]}^0,5 Verwendete Werte: X L : L = 10 mH (10e-3 H ); X C : C = 100 nF (100e-9 F); Parameter R 1 - R 4 : R 1 = 0,5 Ω (rot); R 2 = 1 Ω (blau); R 3 = 2 Ω (grün); R 4 = 5 Ω (magenta) also: R = 0,5; U = 1; V = 2; W = 5 Die Spannungswerte an der Spule sind bis ca. 4,5 kHz unauffällig, ändern sich dann aber extrem. Wie die rote Kurve zeigt, liegen im Resonanzfall an der Spule (und um 180° verschoben ebenfalls am Kondensator) mehr als die 600-fache Eingangspannung an, vorausgesetzt, dass die Spannungsquelle den hierfür notwendigen Strom liefern kann (Gesamtwiderstand dieses Reihen- schwingkreises im Resonanzfall = 0,5 Ω). Hinweis: Siehe hierzu auch den nachfolgenden Abschnitt „Beispiel: Tief- und Hochpass“