Ein beliebtes und für viele sehr verblüffendes einfaches Anwendungsbeispiel sind die Volumen- berechnungen für ein Sektglas, insbesondere wenn dieses einmal voll (h) und einmal halb leer (h/2) ist. Der Volumenkörper (Sektglas) lässt sich durch Rotieren eines Funktionsgraphens um die y-Achse oder, wenn der Körper um 90° rechts herum gedreht wird, um die x-Achse beschreiben. a. Rotation um die Y-Achse. Für einen einfachen kegelförmigen Rotationskörper, der um die y-Achse rotiert, gilt die Funktionsgleichung f(y) = a*y mit a,y ∈ ℝ und a ≠ 0. Für das Rotationsvolumen gilt dann: b. Rotation um die x-Achse. Für einen einfachen kegelförmigen Rotationskörper, der um die x-Achse rotiert, gilt die Funktionsgleichung f(x) = a*x mit a,x ∈ ℝ und a ≠ 0. Für das Rotationsvolumen gilt dann: Unter der Annahme, dass die Funktionsgleichung im Fall 2 f(x)=(1/3)x lautet, können nun die Volumenberechnungen durchgeführt werden. Für h kann, da es hier um Verhältnisse geht, jeder Wert angenommen werden, insbesondere 1. - Volumenberechnung für h 1 = 1 dm und h 2 = 0,5 dm. (1dm = 10cm; 1dm³ = 1 Liter) ° Abschnitt „f:x->f(x)“ aufrufen. ° „Funktionen - Eingabe:“ f 1 : x→f(x)= (1/3)*x ° Button „Integration“ klicken. ° Definitionsbereich (als Ansichtsbereich) xa = - 0,1; xb = 1,1 wählen. ° Integrationsintervall (für die Berechnung) xa = 0; xb = 1 wählen. ° Für Delta X die Anzahl 10000 wählen (ausreichende Genauigkeit). ° Bereich Anwendungen: „Rotationsvolumen“ wählen. ° Button „Berechnung“ und zur Übersicht Button „Zeichne Fläche“ klicken. ° Verfahren für Integrationsgrenze xb = 0,5 wiederholen. Ergebnisse: Für h = 1: V 1 = 0,11635528 VE (tatsächlicher berechneter Wert = 0,116355283466289) und h=0,5: V 2 = 0,01454441 VE (tatsächlicher berechneter Wert = 0,0145444104332861) Verhältnis: V 1 / V 2 = 8 In einem zur halben Höhe gefüllten Glas befindet sich nur 1/8 (12,5%) des Gesamtvolumens! Selbst wenn das Glas zu 80% der Höhe gefüllt ist, beträgt das Volumen V 3 nur 0,05957391 VE. Für h = 0,8: V 1 = 0,05957391 VE (tatsächlicher berechneter Wert = 0,05957390513474) Verhältnis: V 1 / V 3 = 1,95312478230823. In einem zu 80% der Höhe gefüllten Glas (optisch fast voll) befindet sich (nur) ca. 51% des normalen Gesamtvolumens.

Die Oberfläche und das Volumen eines 85 Meter hohen Kühlturms muss für technische Opti- mierungen - die alten Bauunterlagen sind nicht mehr vorhanden - bestimmt werden. Mit Hilfe eines Theodoliten wurden u. a. folgende Messwerte ermittelt. Gesamthöhe: 85 Meter; Stelzenhöhe (Lufteintritt): 5 Meter; Unterer und oberer Durchmesser: 56 Meter; Mitteldurchmesser: 40 Meter; (Halbe Höhe des wirksamen Kühlkörpers, also ohne die Stelzenhöhe). Obwohl nicht zwingend notwendig, ist es in der Regel einfacher, einen um die Abzisse rotierenden Rotationskörper zu berechnen. Der Körper wird um 90° Grad gedreht. Hier im Beispiel wurde der Umsprung des Koordinatensystems in den unteren Durchmesser des Körpers gelegt. Anhand der äußeren Form des Kühlkörpers kann eine Polynomenfunktion 2ten Grades, also x → a 2 x 2 + a 1 x + a 0 angenommen werden. Aus den Angaben lässt sich (z: B. lineares Gleichungssystem usw.) nun sehr schnell die nach- folgende Funktionsgleichung (Formfunktion) aufstellen. Da in der Anwendungsoption „Rotationsvulumen: f(x) rotiert um x- Achse“ die Volumenformel V(x) bereits realisiert ist, kann das Volumen - im Gegensatz zur Oberflächenberechnung - schnell ermittelt werden. Eingabe: f( x ) = 0,005 * ( x - 40 )^2 + 20 (z: B. copy and paste) Zur Berechnung werden die Werte Eingegeben. Der Definitionsbereich hat keinen Einfluss auf die Berechnung. Er dient lediglich zur Festlegung der Koordinatenachsen. Hinweis: Bitte den Modus Rotationsvolumen anklicken! Die Anzahl (bzw. Schrittweite) bestimmt die Genauigkeit. Zur Entwicklung der Gesetzmäßigkeiten der Riemannschen Summe sind kleine Anzahlen für Delta x zu wählen. Ergebnis: Das Volumen des Kühlturms beträgt ca. 130556 m 3 .

Siehe Aufgabenbeschreibung und Werteangaben im obigen Bereich „a. Kühlturmoberfläche“ Die Funktionsgleichung für den Rotationsgraphen lautet: Im Gegensatz zur Volumenberechnung kann die Berechnung der Mantelfläche eines Drehkörpers, selbst wenn die Funktionsgleichung des Rotationsgraphens bekannt ist, doch sich mathematisch sehr aufwendig gestalten, insbesondere für die zu lösenden bestimmten Integrale. In vielen Fällen können sich auch nicht bestimmbare Integrale ergeben. Wie bei der Entwicklung der Volumenformel von Drehkörpern wird auch zur Mantelflächen- berechnung der Körper in vielen Einzelscheiben unterteilt. Allerdings sind diese Scheiben nun als Kegelststümpfe aufzufassen. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes (Trapez) berechnet sich aus der Mittelparallelen m und der Breite t. Wenn r der mittlere Radius ist, dann gilt für den mittleren Umfang: m = 2π r und für die Mantelfläche M = 2π r t. Zusammengefaßte Formel zur Berechnung der Mantelfäche eines Rotationskörper: Die Ableitung der konkreten Rotationsgraphenfunktion f (siehe oben) lautet: f: x → f( x ) = 0,005 ( x - 40 ) 2 + 20 mit x ∈ [ 0 | 80 ] f‘: x → f‘( x ) = 0,01 x - 0,4 Hieraus folgt für die zu Integrierende Funktion g: Die konkrete Mantelflächengröße wird durch das nachfolgende bestimmte Integral in den Grenzen von 0 bis 80 errechnet. Damit der Rechner die Funktion g integrieren kann, muss diese noch mathematisch vervollstän- digt werden. Da zwischen Klammerformen nicht unterschieden wird ({[]}), können diese zur Strukturierung frei verwendet werden). Die vervollständigte Funktion (zum kopieren) lautet: x → g( x ) = 2*Pi*[ 0,005 * ( x - 40 )^2 + 20 ] * [ 1+(0,01*x-0,4)^2 ]^0.5 Die Formel wird im Abschnitt „Funktioneneingabe“ eingegeben bzw. kopiert. Hinweis: Bitte den Modus Flächenberechnung anklicken! Ergebnis: Die Mantelfächengröße beträgt ca. 11718 m 2 . Zum Vergleich die Mantelflächengrößen der nachfolgenden 80 m hohen Zylinder: 1. Radius = 20 m: 80*2*3,14159265358979*20=10053,0964914873 m 2 2. Radius = 28 m: 80*2*3,14159265358979*28=14074,3350880822 m 2

Anhand der Kugeloberfläche sollen hier noch exemplarisch einige Rechenoperationen gezeigt werden. Die Kugelformeln sind relativ einfach, die Formel zur Berechnung der Kugeloberfläche  A = 4 π r 2 sollte eigentlich bekannt sein. Im Rahmen dieser Beispiele wird auch die Entwicklung der Kugeloberflächenformel gezeigt. Ausgehend von der allgemeinen Berechnung der Mantelflächen von Rotationskörpern (siehe Formelentwicklung im Abschnitt „Kühlturmmantelfläche“), wird die zu integrierende Funktion g gebildet. In Verbindung mit der allgemeinen Halbkreisfunktion ergeben sich nun die folgenden Schritte. Für die mathematisch vollständige (vom Rechner benötigte) Funktion g, alle Operatoren werden explizit geschrieben, ergibt sich die kopierbare Funktionsgleichung: Für die Einheitskugel gilt: R = 1 (Parameter in das Parametereingabefeld R eintragen). Hinweis: ein Doppelcklick auf die Mülltonne löscht alle Formvariablen usw. Berechnung des bestimmten Inegrals: Hinweis: Bitte den Modus Flächenberechnung anklicken! Ergebnis: Für die Kugeloberfäche wurde der Wert 12,56574230 errechnet. Dieses entspricht dem Wert 4 π (12,56574230 / 3,14159265358979 = 3,99980000132785) In der Regel sind die Funktionen g, nur schwer bzw. aufwendig zu integrieren, wenn überhaupt, . Durch numerische Integration (Programm) ist dieses normalerweise auch nicht nötig, Stetigkeit vorausgesetzt. Im Falle der Kugeloberfläche sieht die Funktion g schwierig aus, sie ist es aber nicht, wie die nachfolgenden Termumwandlungen zeigen. Nachfolgend werden die Mantelflächen einer Kugel mit dem Radius r = 5 berechnet. Jedes Segment bzw. Kugelschicht hat jeweis eine Höhe von h = 2 oder hier, da eine Kugel symmetrisch ist, eine Breite von 2. Hinweis: Die oberen Abbildungen dienen der Anschauung! Erstellt wurden sie durch Rotationsvolumen berechnen! Die nachfolgenden Teilansichten zeigen die einzelnen zugehörigen Rechnungen. Achtung: Verwendet wurde die bereits oben erstellte Formel mit dem Parameter R als Radius. f(x) = 2*Pi*(R^2-x^2)^0,5 * ( 1+ { -x / (R^2-x^2)^0,5 }^2 )^0,5 mit a, b ∈ [ -r; r] Falls Sie beim Integrieren eine Fehlermeldung erhalten, haben Sie vermutlich den voreingestellten Parameterwert R = 1 nicht auf R = 5 gesetzt bzw. den Definitionsbereich verlassen a, b ∈ [ -r; r]. Hinweis: Bitte den Modus Flächenberechnung anklicken! Protokollauszug: 5 * 62,83185307 = 314,15926535 314,15926535 / 4 / 3,14159265358979 = 24,9999999992855 also: r 2 = 24,9999999992855 → r ≈ 5 Wie unschwer zu erkennen ist, sind die einzelnen Mantelflächen gleich und deren Summe entspricht (selbstverständlich) der Mantelfläche der Kugel A = 4 π r 2

Das Volumen und die Mantelfläche der links abgebildeten dekorativen großen Blumenvase soll berechnet werden. Bei der Formkurve handelt es um eine Sinuskurve, die um dreißig Einheiten nach rechts verschobene wurde. Die obere Vasenöffnung befindet sich im Ursprung. Eine Vermessung der großen Vase ergab folgende Werte. Kleinster Durchmesser: 20 cm Größter Durchmesser: 60 cm Gesamthöhe: 65 cm Sowohl für die Volumenbestimmung als auch für die Mantelflächenberechnung wird die Kurven- funktion, die die Form des Drehkörpers (Vase) abbildet, benötigt. Wie bereits häufig erwähnt, ist es in der Regel einfacher, einen um die Abzisse rotierenden Rotationskörper zu berechnen. Der Körper wird folglich einmal rechtwinklig gedreht. Aus den Vorgaben ergibt sich die nachfolgende Formfunktion f. Diese kann dierekt in die Funktioneneingabe kopier werden. Hinweis: Winkel im Bogenmaß Für das Rotationsvolumen wird lediglich die formbeschreibende Kurvenfunktion f benötig. Die mathematisch vollständige (rechnerverständliche) Funktionsgleichung der Funktion f lautet: Hinweis: Winkel im Bogenmaß! Für Die Berechnung der Mantelfläche mit Hilfe eines (normalen) bestimmten Integrals wird zusätz- lich noch die erste Ableitungsfunktion f‘(x) benötigt. Die Ableitungsfunktion (Kettenregel) lautet: Die Volumenberechnung des Rotationskörpers in den Grenzen 0 bis 65 erfolgt im nachstehenden Programmbereich „Integration“. Hinweise: Bitte den Modus Rotationsvolumen anklicken! Winkeleinstellung: Bogenmaß (Normaleinstellung)! Wie auch die nachfolgende Darstellung zeigt, wurde hier mit einer geringen Schrittzahl ( Anzahl = 100 ) integriert. Das gerundete Ergebnis beträgt 90922,9452 VE. Hinweis: Um die Proportionen richtig darzustellen, wurde die Option „Maßstab 1:1“ gewählt. Durch die Erhöhung der Anzahl von Delta x auf 10000 wird das Ergebnis, wie die Differenzsumme im nachfolgenden Ausschnitt zeigt, wesentlich verbessert. Das Volumen beträgt ca. 90922,29 cm 3 , also fast 91 Liter. Der Berechnung der Mantelfläche der Vase liegt das nachstehende bestimmte Integral zu Grunde. Unter dem Gesichtspunkt der allgemeinen programmgestützten Berechnungen lässt sich das Integral auch folgendermaßen formulieren (Faktorregel): Unter verwendung der bereist erstellten Funktionen f der Formkurve und deren Ableitungsfunktion f‘ gilt für g: Die mathematisch vollständige (rechnerverständliche) Funktionsgleichung der Funktion g lautet: g(x) = 2*Pi*(10*sin(0,1*[x-30])+20) * ( 1+ [ cos( 0,1*(x-30)) ]^2 )^0,5 mit x ∈ [ 0; 65 ]; Winkelmodus Bogenmaß (Standardeinstellung) Die Funktionsgleichung der zu integrierende Funktion g muss im Fenster der Funktionseingabe vorhanden (eingegeben, kopiert) sein. Die Position - f 1 bis f 4 - ist nicht von Bedeutung. Die Mantelfläche wird durch das bestimmte Integral errechnet. Der Definitionsbereich ist unabhängig vom Integrationsintervall und begrenzt lediglich das Darstellungs- intervall. Einen Einfluss auf die Integrationergebnisse hat es nicht. Hinweis: Bitte Modus Flächenberechnung anklicken! Winkeleinstellung: Bogenmaß (Normaleinstellung)! Die Berechnung des bestimmten Integrals in den Grenzen von 0 bis 65 cm ergibt einen Wert von ca. 9933,5224448 FE. Die Mantelfläche der Vase hat eine Größe von ca. 9933,52 cm 2 , also fast 1 m 2 . Nachfolgend ist die grafische Darstellung der Integration der Mantelflächenfunktion abgebildet. Auffällig sind die beiden relativen Maxima. Zur besseren Darstellung wurden die Kurve der Mantelflächenfunktion g(x) und die formbe- stimmende Rotationskurve zusammen nachfolgend ausgegeben. Damit die Kurven gut ver- gleichbar sind, wurde die Kurve g ohne dem Faktor 2π ausgegeben (gestaucht). Auf dem ersten Blick scheint es wiedersprüchlich zu sein, dass die Vase im Abschnittsbereich des größten Umfangs doch nicht die maximale Oberfläche zu haben scheint. Pro Forma und exemplarisch soll hier einmal eine Plausibilitäts- prüfung stattfinden. Es soll gezeigt werden, dass die Mantelflächensegmente in den Umgebungen der Maxima wirklich größer sind als im Bereich des gößten Durchmessers der Vase. Hierzu werden in der Umgebung des Tiefpunktes sowie den Umgebungen der beiden angrenzenden Hochpunkte die einzelnen Mantelflächensegmente der Vasen-Formkurve berechnet. Für Δx wird nun einfach (willkürlich) der pragmatische Wert Δx = 0,1 verwendet, so dass zusammenfassend die nachfolgende (eingebbare) Formel für ein Mantelflächensegment formuliert werden kann. MFS( x k , m k ) = 2* 3,14159265358979 * ( 10*sin( 0,1 * [ X k - 30 ] ) + 20 ) * 0,1 / cos( arctan(  m k   ) ) x k und m k müssen vorher durch die aktuellen Werte ersetzt werden. (Winkelmodus: Bogenmaß) Es gibt viele Möglichkeiten, die Positionen der Extremwerte x En der Mantelflächenfunktion g sowie die Steigungen m En der Formfunktion der Vase ausreichend genau zu bestimmen, z. B. mittels Ableitungen im Menue „Ableitungen“. Aus der grafischen Darstellung der ersten Ableitung der Mantelflächenfunktion g sind die folgenden Werte (bei entsprechenden Wahlen der Abzissenabschnitte) zu entnehmen: Rel. Maxima für x H1 ≈ 36,6625 und x H2 ≈ 54,754; rel. Minimum für x T ≈ 45,708 Auch für die Ermittlungen der einzelnen Steigungen der Formfunktion der Vase an den obigen rel. Extremwerten bietet sich die erste Ableitung der Formfunktion (Vase) . Für die Steigungen der Formfunktion an den obigen Stellen ergeben sich: Steigung an der Stelle x H1 : m ≈ 0,78 Steigung an der Stelle x T : m ≈ 0 Steigung an der Stelle x H2 : m ≈ -0,78 Eingesetzt ergeben sich hieraus die Formeln für die einzelnen Mantelflächen der drei Flächenseg- mente als kopierbare Terme: 2* 3,14159265358979 * ( 10*sin( 0,1 * ( 36,6625 - 30 ) ) + 20 ) * 0,1 / cos( arctan(  0,78  )) 2* 3,14159265358979 * ( 10*sin( 0,1 * ( 45,708 - 30 ) ) + 20 ) * 0,1 / cos( arctan(  0  )) 2* 3,14159265358979 * ( 10*sin( 0,1 * ( 54,754 - 30 ) ) + 20 ) * 0,1 / cos( arctan(  -0,78  )) Die Berechnungen der Mantelflächen der drei Segmente erfolgen mit dem kleinen Rechner durch kopieren und einfügen. Die Ergebnisse sind hier als Protokollauszug wiedergegeben. Es ist erkennbar, das die Mantelfläche des Segmentes mit dem maximalen Durchmesser kleiner ist als die beiden anderen in der Umgebung liegenden Mantelflächen! 18,8495559214963 FE < 20,8615263341704 FE